幂级数与三角函数

问题提出

前几节课，我们从几何级数出发，推导了反正切函数的幂级数展开，并由此得到了莱布尼茨级数——一个用纯整数表示 $\pi$ 的公式。

今天，我要带大家走得更远。

我走进教室，在黑板上写了两个式子：

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots$

同学们，请看这两个式子。左边是我们熟悉的三角函数 $\sin x$ 和 $\cos x$——它们来自圆，描述的是圆上点的坐标随角度变化的关系。右边是一串多项式——只包含 $x$ 的幂次和常数。

这意味着什么？它意味着我们可以不用圆、不用角度，仅用多项式来计算 $\sin$ 和 $\cos$ 的值！

贝塔的眼睛亮了：

等一下……$\sin$ 和 $\cos$ 的所有信息都藏在这些多项式里？

不只是信息。让我再写一个式子——

我在黑板上写下一个看起来”不可能”的等式：

$e^{ix} = \cos x + i\sin x$

这叫欧拉公式。它把指数函数、三角函数和虚数 $i$ 联系在了一起。而理解它的关键，正是 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的幂级数展开。

我在黑板上写下今天的核心问题：

1. $\sin x$ 和 $\cos x$ 的幂级数展开是怎么推导出来的？
2. 如何用幂级数理解三角函数与圆的深层联系？
3. 欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 从幂级数的角度如何理解？

观察与猜想

第一步：从泰勒展开的思想说起

回忆一下，我们之前怎么得到 $\arctan x$ 的级数展开的？

伽玛回答：

先找到它的导数 $\dfrac{1}{1+x^2}$，展开为几何级数，然后逐项积分。

没错！这个方法的关键是：如果知道一个函数的各阶导数在某点的值，就能用多项式逼近这个函数。这叫做泰勒展开。

第二步：计算 $\sin x$ 的各阶导数

让我们计算 $\sin x$ 在 $x = 0$ 处的各阶导数。

我在黑板上列了一个表：

大家看到了什么规律？

阿普立刻说：

每四阶循环一次！$0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \ldots$

没错！而且偶数阶导数全是零，只有奇数阶导数非零。这意味着泰勒展开中，$\sin x$ 只含 $x$ 的奇数次幂。

第三步：写出级数

把非零的项挑出来：

$\sin x = \frac{1}{1!}x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

同理，对 $\cos x$ 做同样的计算。$\cos x$ 的各阶导数在 $x = 0$ 处的值是 $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \ldots$，奇数阶导数全是零，只含 $x$ 的偶数次幂：

$\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

严格证明

泰勒级数的余项与收敛性

泰勒展开给出的是近似值。要证明级数确实等于函数值，需要证明余项趋于零。

证明 $\sin x$ 的泰勒级数收敛

对于 $f(x) = \sin x$，无论求多少阶导数，结果都是 $\sin$ 或 $\cos$ 的某种形式，所以 $|f^{(n+1)}(\xi)| \leq 1$。

因此：

$|R_n(x)| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$

对于任何固定的 $x$，$\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$（当 $n \to \infty$），因为阶乘增长比指数快。

所以 $\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$，泰勒级数对所有 $x \in \mathbb{R}$ 都收敛到 $\sin x$。

同理可证 $\cos x$ 的泰勒级数也对所有 $x$ 收敛。

用级数理解 $\sin$ 和 $\cos$ 的性质

幂级数展开给了我们一种全新的方式来理解三角函数的性质。

性质 1：$\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数

从级数可以看出：

• $\sin x$ 只含 $x$ 的奇数次幂 → $\sin(-x) = -\sin x$（奇函数）
• $\cos x$ 只含 $x$ 的偶数次幂 → $\cos(-x) = \cos x$（偶函数）

不需要任何几何推理，纯从级数就能得出这个结论！

性质 2：导数关系

对 $\sin x$ 的级数逐项求导：

$\frac{d}{dx}\sin x = 1 - \frac{3x^2}{3!} + \frac{5x^4}{5!} - \frac{7x^6}{7!} + \cdots = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \cos x$

对 $\sin x$ 求导得到 $\cos x$——从级数的角度一目了然！

性质 3：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

用级数的前几项来验证：

$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}, \quad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$

$\sin^2 x + \cos^2 x \approx \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2 + \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^2$

$= x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{x^6}{36} + 1 - x^2 + \frac{x^4}{4}$

$= 1 - \frac{x^4}{12} + \frac{x^6}{36} + \cdots \to 1$

前几项消掉后剩余的是高阶小量。如果取更多项，结果会更精确地趋向 $1$。

欧拉公式的级数推导

现在来到了今天的最高潮。

让我们回忆指数函数 $e^x$ 的幂级数展开：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

这个展开式对所有 $x$ 成立。那如果我们把 $x$ 替换为 $ix$（其中 $i = \sqrt{-1}$）呢？

$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \cdots$

利用 $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \ldots$：

$e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \cdots$

把实部和虚部分开：

$e^{ix} = \underbrace{\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos x} + i\underbrace{\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin x}$

$\boxed{e^{ix} = \cos x + i\sin x}$

教室里一片惊叹声。

幂级数与圆的联系

让我们回到圆。

我说：

在单位圆上，角度 $x$ 对应的点坐标是 $(\cos x, \sin x)$。现在我们知道 $\cos x$ 和 $\sin x$ 都可以用幂级数来计算——这意味着：

1. 圆的参数方程 $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ 可以用多项式来逼近
2. $\pi$ 的计算不再依赖几何测量，可以通过级数来完成
3. 三角函数的性质（奇偶性、导数关系、恒等式）都可以从级数推导

从某种意义上说，幂级数给了我们一种”代数地理解圆”的方式——不用画圆，不用量角度，仅用无穷多项式就能精确描述圆上的一切。

结论与应用

核心结论

应用一：用级数近似计算三角函数

例题：用幂级数的前三项计算 $\sin(0.1)$ 的近似值，并估计误差。

解：

$\sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{(0.1)^3}{6} + \frac{(0.1)^5}{120} = 0.1 - 0.000167 + 0.0000000833 \approx 0.099833$

实际值 $\sin(0.1) = 0.0998334\ldots$，精度已经达到了小数点后 6 位！

误差不超过下一项的绝对值：$\dfrac{(0.1)^7}{5040} \approx 2 \times 10^{-11}$。

应用二：计算 $\pi$ 的近似值

从欧拉恒等式出发，我们可以设计各种计算 $\pi$ 的方法。

例题：已知 $\sin(\pi/6) = 1/2$，用幂级数近似求解 $\pi$。

解：

设 $\theta = \pi/6$，则 $\sin\theta = 1/2$。

用级数的前两项：$\theta - \dfrac{\theta^3}{6} \approx \dfrac{1}{2}$

令 $\theta - \dfrac{\theta^3}{6} = 0.5$，通过迭代或牛顿法求解得 $\theta \approx 0.5236$。

因此 $\pi \approx 6\theta \approx 3.1416$，精度已经很不错！

呼噜星人的收获

下课铃响了。学生们围过来，兴奋地讨论着今天的发现。

贝塔激动地说：

欧拉公式太美了！$e^{ix} = \cos x + i\sin x$——指数函数、三角函数、虚数，三个看似不相关的概念，通过幂级数完美地统一了。这不是巧合，这是数学深层的结构！

阿普说：

我最震撼的是：$\sin x$ 和 $\cos x$ 的所有信息——函数值、导数关系、奇偶性——全都”编码”在了那些系数 $0, 1, 0, -1$ 里。一个简单的循环模式，展开后就是一个完整的三角函数。

伽玛若有所思：

我突然理解了为什么幂级数这么重要。它不只是”一种计算方法”，而是一种语言——用多项式来”说话”的语言。用这种语言，我们可以把圆的几何”翻译”成代数。

咕噜最后总结：

欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 把五个最重要的常数放在了一起。$e$ 来自微积分，$i$ 来自代数，$\pi$ 来自圆，$1$ 和 $0$ 来自算术。这个公式告诉我们：数学的各个分支，在最深层是统一的。而幂级数，就是揭示这种统一的工具。

我笑着在黑板上写下最后一句话：

幂级数是数学的”通用翻译器”——它把几何的语言翻译成代数，把连续的语言翻译成离散，把圆的语言翻译成多项式。而欧拉公式，是这个翻译器最辉煌的译作。