莱布尼茨级数：π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+...

问题提出

上节课我们学习了无穷级数的基本概念——什么是收敛、什么是发散，以及几何级数和莱布尼茨级数的初步介绍。今天，我们要深入挖掘其中最令人惊叹的发现之一。

我走进教室，在黑板上写下一个式子：

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots$

然后转过身来面对呼噜星的学生们：

请看这个式子。左边是 $\dfrac{\pi}{4}$，和圆有关——$\pi$ 是圆周率，是圆的周长与直径的比值。右边是一串只包含整数的加减交替的数列之和。没有任何根号、没有任何三角函数、没有任何圆的几何元素——只有 $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ 这些奇数。

这怎么可能？一个来自圆的常数，竟然能用一个完全不含圆的公式来表示？

教室里一片寂静。贝塔最先打破沉默：

这确实很神奇。圆是几何的，级数是代数的。它们之间到底是什么联系？

我说：

这正是今天要回答的问题。我们将追踪这条线索——从圆到 $\pi$，从 $\pi$ 到反正切函数，从反正切函数到这个级数——一步步理解这个公式为什么成立。

我在黑板上写下今天的三个核心问题：

1. 莱布尼茨级数是怎么来的？它和圆的几何有什么关系？
2. 如何严格证明这个级数收敛到 $\dfrac{\pi}{4}$？
3. 这个级数收敛得有多快？实际计算中有什么局限？

观察与猜想

第一步：从圆到 $\pi/4$

让我们从最简单的地方开始。$\dfrac{\pi}{4}$ 是什么？

阿普回答：

$\pi$ 是圆的周长与直径的比值。$\dfrac{\pi}{4}$ 就是……圆周率的四分之一？

没错，但这不够具体。让我们换个角度——$\dfrac{\pi}{4}$ 弧度等于 $45°$。在单位圆上，从正 $x$ 轴逆时针旋转 $45°$，就到达了点 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

但更重要的是：$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$，反过来 $\arctan(1) = \dfrac{\pi}{4}$。

我在黑板上写下这个关键关系：

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

这就是桥梁！$\dfrac{\pi}{4}$ 等于 $\arctan(1)$，而 $\arctan$ 是一个可以展开为级数的函数。

第二步：反正切函数的级数展开

上节课我们学了几何级数：

$\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \cdots, \quad |u| < 1$

现在让我做一个小替换。令 $u = -x^2$：

$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots, \quad |x| < 1$

而 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 恰好是 $\arctan x$ 的导数！所以如果我们把两边从 $0$ 到 $x$ 积分——

伽玛眼睛一亮：

左边积分得到 $\arctan x$，右边逐项积分得到 $\dfrac{x}{1} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \cdots$！

没错！这就是反正切函数的幂级数展开：

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

第三步：代入 $x = 1$

现在关键的一步来了——令 $x = 1$：

$\arctan(1) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots$

而 $\arctan(1) = \dfrac{\pi}{4}$，所以——

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots$

全班发出惊叹。

但等一下！咕噜举起了手，级数展开要求 $|x| < 1$，而我们现在令 $x = 1$，这不在收敛区间内啊！

太好了，咕噜！你抓住了最关键的问题。$|x| < 1$ 时级数一定收敛，但 $x = 1$ 处需要单独证明。这就是接下来”严格证明”部分要做的事。

严格证明

莱布尼茨级数的推导

让我完整地梳理从圆到级数的推导链。

第一步：几何级数

对于 $|u| < 1$：

$\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + \cdots$

第二步：替换 $u = -x^2$

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$

这个等式对 $|x| < 1$ 成立。

第三步：逐项积分

对等式两边从 $0$ 到 $x$（$|x| < 1$）积分：

$\int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} \, dt$

左边：$\int_0^x \dfrac{dt}{1+t^2} = \arctan x$

右边（由幂级数的一致收敛性，可以交换积分和求和）：

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n} \, dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

因此：

$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

收敛性的严格证明

现在我们要解决咕噜提出的问题：$x = 1$ 处，级数是否收敛？

我们对莱布尼茨级数 $S = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1}$ 应用莱布尼茨判别法：

设 $a_n = \dfrac{1}{2n+1}$：

1. $a_n > 0$：显然 $\dfrac{1}{2n+1} > 0$ 对所有 $n \geq 0$ 成立。✓

2. 单调递减：$\dfrac{1}{2(n+1)+1} = \dfrac{1}{2n+3} < \dfrac{1}{2n+1}$，所以 $a_{n+1} < a_n$。✓

3. 通项趋于零：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2n+1} = 0$。✓

三个条件全部满足，由莱布尼茨判别法，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1}$ 收敛。

级数和等于 $\pi/4$ 的证明

收敛性证明了，但我们还需要证明级数的和恰好是 $\dfrac{\pi}{4}$。

阿贝尔曾经证明了一个重要的定理：如果幂级数 $\sum a_n x^n$ 在 $|x| < 1$ 内收敛到 $f(x)$，且在 $x = 1$ 处也收敛，那么：

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n$

对于我们的级数，$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ 在 $|x| < 1$ 内成立，且 $\arctan x$ 在 $x = 1$ 处连续（$\arctan$ 是连续函数），所以：

$\arctan(1) = \lim_{x \to 1^-} \arctan(x) = \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

因此：

$\boxed{\frac{\pi}{4} = \arctan(1) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}}$

收敛速度分析

现在来看莱布尼茨级数的实际表现。我计算了前几项的部分和 $S_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{2k+1}$：

阿普看着这个表格皱起了眉头：

收敛这么慢？那这个公式有什么用？

我解释道：

它的数学意义远大于计算价值。莱布尼茨级数第一次揭示了 $\pi$ 和纯整数运算之间的关系——这是人类历史上第一个用无穷级数表示 $\pi$ 的公式。它打开了一扇门，让数学家们意识到：$\pi$ 可以用级数来研究。

至于实际计算，后续我们会学习收敛更快的公式，比如 Machin 公式。但莱布尼茨级数是这一切的起点。

结论与应用

本节结论

应用：误差估计的例题

例题：用莱布尼茨级数计算 $\pi$，要求误差小于 $0.01$。至少需要计算多少项？

解：

由莱布尼茨判别法的误差估计：

$\left| \frac{\pi}{4} - S_n \right| \leq \frac{1}{2n+3}$

要使 $\dfrac{1}{2n+3} < 0.01$，即 $2n + 3 > 100$，所以 $n > 48.5$，取 $n = 49$。

因此至少需要计算 50 项（$n = 0$ 到 $n = 49$）。

验证：$S_{49} = \sum_{k=0}^{49} \dfrac{(-1)^k}{2k+1}$

此时 $\pi \approx 4 S_{49}$，误差不超过 $\dfrac{4}{101} \approx 0.0396$。

呼噜星人的收获

下课铃响了，学生们围过来分享今天的感受。

贝塔说：

最让我震撼的是推导链——从几何级数一步步走到莱布尼茨级数，每一步都很自然，但最终的结果却把圆和整数联系在了一起。这说明数学的各个分支不是孤立的，它们之间存在意想不到的联系。

阿普说：

我学到了一个重要的事情：一个公式可以数学上优美但计算上不实用。莱布尼茨级数就是这样——它的意义在于揭示联系，不在于快速计算。

伽玛补充道：

莱布尼茨判别法让我看到了”证明收敛”的力量。以前我只知道”看起来在收敛”，现在我能严格证明它在收敛，还能估计误差。这种严谨性是数学最美的地方。

咕噜最后说：

我觉得今天最深刻的一课是：好问题比好答案更重要。“一个来自圆的常数为什么能用纯整数表示？“——这个问题本身就是一扇门，通向了级数理论、分析学和计算数学的广阔世界。

我笑着在黑板上写下最后一句话：

莱布尼茨级数告诉我们：$\pi$ 不只属于圆。它是一个常数，可以从几何来，也可以从代数来，还可以从分析来。不同的道路，通向同一个真理。