圆的参数方程

同学们好！我是地球老师，今天我们来到了呼噜星数学课堂。上一节课我们学习了圆的标准方程和一般方程，知道了如何用代数方程来描述圆的几何性质。但是同学们有没有想过一个问题：能不能用一个参数来描述圆上的每一个点呢？这个参数又有什么特殊的意义呢？

让我们带着好奇心开始今天的探索之旅！

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问题提出

“地球老师，” 一个呼噜星学生举手提问，“我们学习了圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，但是这种方程形式只能告诉我们圆上的点满足的关系，能不能像我们之前学过的坐标系一样，用一个变量就能直接确定圆上的点呢？”

这个问题提得非常好！确实，圆的方程虽然能够表示圆上所有点的集合，但是它隐去了点的生成过程。那么，我们能否找到一个参数 t，使得当 t 变化时，能够生成圆上的所有点呢？

让我们来思考一个实际问题：想象一个木马在圆形轨道上旋转，木马上有一个小朋友，小朋友的位置如何随着时间的变化而变化？

假设圆的半径为 r，圆心在原点，木马从 $(r, 0)$ 位置开始逆时针旋转。设 t 为旋转的角度，那么小朋友的位置坐标应该是多少呢？

通过画图，我们可以发现：

• x 坐标：$r \cos t$
• y 坐标：$r \sin t$

当 t 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时，小朋友就绕整个圆了一圈，回到了原来的位置。

这样，我们就得到了一个用参数 t 表示的圆的方程：

$$\begin{cases} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}$$

这就是我们今天要学习的圆的参数方程！

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观察与猜想

现在让我们一起来观察和探索圆的参数方程的性质。

首先，我们考虑一个具体的例子：半径为 2 的圆，圆心在原点。

猜想 1：参数方程为 $\begin{cases} x = 2\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases}$

让我们代入几个具体的 t 值来验证：

1. 当 $t = 0$ 时：

   • $x = 2\cos 0 = 2 \times 1 = 2$
   • $y = 2\sin 0 = 2 \times 0 = 0$
   • 点为 $(2, 0)$

2. 当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时：

   • $x = 2\cos \frac{\pi}{2} = 2 \times 0 = 0$
   • $y = 2\sin \frac{\pi}{2} = 2 \times 1 = 2$
   • 点为 $(0, 2)$

3. 当 $t = \pi$ 时：

   • $x = 2\cos \pi = 2 \times (-1) = -2$
   • $y = 2\sin \pi = 2 \times 0 = 0$
   • 点为 $(-2, 0)$

4. 当 $t = \frac{3\pi}{2}$ 时：

   • $x = 2\cos \frac{3\pi}{2} = 2 \times 0 = 0$
   • $y = 2\sin \frac{3\pi}{2} = 2 \times (-1) = -2$
   • 点为 $(0, -2)$

5. 当 $t = 2\pi$ 时：

   • $x = 2\cos 2\pi = 2 \times 1 = 2$
   • $y = 2\sin 2\pi = 2 \times 0 = 0$
   • 点为 $(2, 0)$

我们可以看到，随着 t 的变化，点 $(x, y)$ 确实在半径为 2 的圆上运动，并且当 t 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时，点绕整个圆一圈后回到了起始位置。

猜想 2：参数 t 的几何意义

从上面的计算可以看出，当 t 变化时，点 $(x, y)$ 在圆上运动。那么参数 t 到底代表什么呢？

观察我们的参数方程：

$$\begin{cases} x = 2\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases}$$

我们可以联想到极坐标的概念。在极坐标中，圆上任意一点 $(x, y)$ 可以表示为：

$$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$

其中 $\theta$ 是极角。

对比发现，我们的参数 t 实际上就是极角 $\theta$！也就是说，参数 t 表示的是点从起始位置（通常是正x轴位置）逆时针旋转的角度。

猜想 3：圆心不在原点的情况

如果圆心不在原点，而在点 $(a, b)$ 处，半径为 r，那么圆的参数方程应该是什么样呢？

我们可以这样考虑：将圆心平移到原点，参数方程为 $\begin{cases} x' = r \cos t \\ y' = r \sin t \end{cases}$，然后再将坐标系平移回原来的位置。

平移变换：

$$x = a + x' = a + r \cos t$$ $$y = b + y' = b + r \sin t$$

因此，圆心在 $(a, b)$，半径为 r 的圆的参数方程应该是：

$$\begin{cases} x = a + r \cos t \\ y = b + r \sin t \end{cases}$$

验证：让我们取一个具体的例子，圆心在 $(1, 2)$，半径为 3。

1. 当 $t = 0$ 时：

   • $x = 1 + 3\cos 0 = 1 + 3 = 4$
   • $y = 2 + 3\sin 0 = 2 + 0 = 2$
   • 点为 $(4, 2)$

2. 当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时：

   • $x = 1 + 3\cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$
   • $y = 2 + 3\sin \frac{\pi}{2} = 2 + 3 = 5$
   • 点为 $(1, 5)$

我们可以验证这两个点是否在圆心为 $(1, 2)$，半径为 3 的圆上：

对于点 $(4, 2)$：

• 到圆心距离：$\sqrt{(4-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3$ ✓

对于点 $(1, 5)$：

• 到圆心距离：$\sqrt{(1-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{0 + 9} = 3$ ✓

验证通过！

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严格证明

现在让我们严格证明我们的猜想是否正确。

定理：圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$ 的圆的参数方程为：

$$\begin{cases} x = a + r \cos t \\ y = b + r \sin t \end{cases}$$

其中 $t$ 是参数，$0 \leq t < 2\pi$。

证明：

我们需要证明两点：

1. 对于任意 $t \in [0, 2\pi)$，点 $(a + r \cos t, b + r \sin t)$ 在圆上。
2. 圆上的任意一点 $(x, y)$ 都可以表示为 $(a + r \cos t, b + r \sin t)$ 的形式，其中 $t \in [0, 2\pi)$。

证明第一点：

设点 $P = (a + r \cos t, b + r \sin t)$，我们需要证明 $P$ 在圆上。

圆的定义是到圆心 $(a, b)$ 的距离等于 $r$ 的点的集合。

计算 $P$ 到圆心的距离：

$$\begin{aligned} |P - (a, b)| &= \sqrt{(a + r \cos t - a)^2 + (b + r \sin t - b)^2} \\ &= \sqrt{(r \cos t)^2 + (r \sin t)^2} \\ &= \sqrt{r^2 \cos^2 t + r^2 \sin^2 t} \\ &= \sqrt{r^2 (\cos^2 t + \sin^2 t)} \\ &= \sqrt{r^2 \cdot 1} \quad (\text{因为 } \cos^2 t + \sin^2 t = 1) \\ &= \sqrt{r^2} \\ &= r \end{aligned}$$

因此，$P$ 到圆心的距离等于 $r$，所以 $P$ 在圆上。

证明第二点：

设 $(x, y)$ 是圆上的任意一点，那么根据圆的定义：

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

我们需要找到 $t \in [0, 2\pi)$ 使得：

$$\begin{cases} x = a + r \cos t \\ y = b + r \sin t \end{cases}$$

从 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，我们可以设：

$$x - a = r \cos t$$ $$y - b = r \sin t$$

因此：

$$\cos t = \frac{x - a}{r}$$ $$\sin t = \frac{y - b}{r}$$

由于 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，我们有：

$$\left(\frac{x - a}{r}\right)^2 + \left(\frac{y - b}{r}\right)^2 = 1$$ $$\frac{(x - a)^2 + (y - b)^2}{r^2} = 1$$ $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

这正是圆的方程，所以我们的设定是合理的。

现在我们需要证明存在这样的 $t$。由于 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，我们可以定义：

$$t = \arctan\left(\frac{y - b}{x - a}\right)$$

需要注意的是，$\arctan$ 函数的值域是 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，我们需要根据 $(x - a, y - b)$ 所在的象限来调整 t 的值：

1. 如果 $x - a > 0$ 且 $y - b \geq 0$（第一象限）：$t = \arctan\left(\frac{y - b}{x - a}\right)$
2. 如果 $x - a < 0$（第二、三象限）：$t = \arctan\left(\frac{y - b}{x - a}\right) + \pi$
3. 如果 $x - a > 0$ 且 $y - b < 0$（第四象限）：$t = \arctan\left(\frac{y - b}{x - a}\right) + 2\pi$

这样，我们就证明了圆上任意一点都可以用参数方程表示。

参数 t 的几何意义：

从上面的证明可以看出，参数 $t$ 确实是极角，表示从圆心指向点 $(x, y)$ 的向量与正x轴的夹角。当 $t$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$ 时，点 $(x, y)$ 逆时针绕圆一周。

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结论与应用

经过我们的探索和证明，我们得出了圆的参数方程：

结论：

1. 圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程：

   $$\begin{cases} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}$$

   其中 $t$ 是参数，$0 \leq t < 2\pi$。

2. 圆心在 $(a, b)$，半径为 r 的圆的参数方程：

   $$\begin{cases} x = a + r \cos t \\ y = b + r \sin t \end{cases}$$

   其中 $t$ 是参数，$0 \leq t < 2\pi$。

3. 参数 t 的几何意义：$t$ 表示点从圆心出发指向 $(x, y)$ 的向量与正x轴的夹角（极角）。

应用：

现在让我们来看看圆的参数方程在实际问题中的应用。

例题1：已知圆的参数方程为 $\begin{cases} x = 3 + 2\cos t \\ y = 1 + 2\sin t \end{cases}$，求当 $t = \frac{\pi}{3}$ 时对应的点的坐标。

解答：

$$\begin{aligned} x &= 3 + 2\cos \frac{\pi}{3} = 3 + 2 \times \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4 \\ y &= 1 + 2\sin \frac{\pi}{3} = 1 + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \end{aligned}$$

因此，点的坐标为 $(4, 1 + \sqrt{3})$。

例题2：将参数方程 $\begin{cases} x = 2 + 3\cos t \\ y = -1 + 3\sin t \end{cases}$ 化为普通方程。

解答： 从参数方程得到：

$$x - 2 = 3\cos t$$ $$y + 1 = 3\sin t$$

两边平方后相加：

$$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\cos^2 t + 9\sin^2 t = 9(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9$$

因此，普通方程为：

$$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$$

这是一个圆心在 $(2, -1)$，半径为 3 的圆。

例题3：将普通方程 $x^2 + y^2 = 16$ 化为参数方程。

解答： 这是圆心在原点，半径为 4 的圆。

因此，参数方程为：

$$\begin{cases} x = 4\cos t \\ y = 4\sin t \end{cases}$$

例题4：求圆 $C_1: \begin{cases} x = 1 + 2\cos t_1 \\ y = 2 + 2\sin t_1 \end{cases}$ 和圆 $C_2: \begin{cases} x = 3 + 2\cos t_2 \\ y = 1 + 2\sin t_2 \end{cases}$ 的交点。

解答： 首先，我们找到两个圆的普通方程：

对于 $C_1$：

$$\begin{cases} x - 1 = 2\cos t_1 \\ y - 2 = 2\sin t_1 \end{cases}$$

平方相加： $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

对于 $C_2$：

$$\begin{cases} x - 3 = 2\cos t_2 \\ y - 1 = 2\sin t_2 \end{cases}$$

平方相加： $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4$

解方程组：

$$\begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \\ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4 \end{cases}$$

展开方程：

$$\begin{cases} x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4 \\ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 4 \end{cases}$$

化简：

$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 \\ x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0 \end{cases}$$

用第一个方程减去第二个方程：

$$( -2x + 6x ) + ( -4y + 2y ) + (1 - 6) = 0$$ $$4x - 2y - 5 = 0$$ $$4x - 2y = 5$$ $$y = 2x - \frac{5}{2}$$

将 $y = 2x - \frac{5}{2}$ 代入第一个方程：

$$x^2 + (2x - \frac{5}{2})^2 - 2x - 4(2x - \frac{5}{2}) + 1 = 0$$ $$x^2 + 4x^2 - 10x + \frac{25}{4} - 2x - 8x + 10 + 1 = 0$$ $$5x^2 - 20x + \frac{25}{4} + 11 = 0$$ $$5x^2 - 20x + \frac{69}{4} = 0$$

乘以 4：

$$20x^2 - 80x + 69 = 0$$

用求根公式：

$$x = \frac{80 \pm \sqrt{6400 - 5520}}{40} = \frac{80 \pm \sqrt{880}}{40} = \frac{80 \pm 4\sqrt{55}}{40} = \frac{20 \pm \sqrt{55}}{10}$$

对应的 y 值：

$$y = 2 \times \frac{20 \pm \sqrt{55}}{10} - \frac{5}{2} = \frac{40 \pm 2\sqrt{55}}{10} - \frac{25}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{55}}{10}$$

因此，交点为：

$$\left( \frac{20 + \sqrt{55}}{10}, \frac{15 + 2\sqrt{55}}{10} \right) \quad \text{和} \quad \left( \frac{20 - \sqrt{55}}{10}, \frac{15 - 2\sqrt{55}}{10} \right)$$

例题5：求圆 $C: \begin{cases} x = 2 + \cos t \\ y = 1 + \sin t \end{cases}$ 在点 $t = \frac{\pi}{4}$ 处的切线方程。

解答： 首先，找到切点坐标：

$$\begin{aligned} x &= 2 + \cos \frac{\pi}{4} = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2} \\ y &= 1 + \sin \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

切点为 $\left( \frac{4 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \right)$。

圆的半径向量为 $\left( \cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$。

切线的法向量就是半径向量，因此切线的斜率为：

$$k = -\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$$

切线方程为：

$$y - \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = -1 \left( x - \frac{4 + \sqrt{2}}{2} \right)$$ $$y = -x + \frac{4 + \sqrt{2}}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$$ $$y = -x + \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2}$$ $$y = -x + 3 + \sqrt{2}$$

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呼噜星人的收获

今天我们学习了圆的参数方程，呼噜星人们收获满满！

🌟 收获总结：

1. 圆的参数方程公式：

   • 圆心在原点：$\begin{cases} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}$
   • 圆心在 $(a, b)$：$\begin{cases} x = a + r \cos t \\ y = b + r \sin t \end{cases}$

2. 参数的几何意义：

   • 参数 $t$ 表示极角，即点从圆心出发指向 $(x, y)$ 的向量与正x轴的夹角
   • $t$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时，点绕圆一周

3. 参数方程的优势：

   • 直观地描述点的生成过程
   • 便于计算特定位置的点
   • 便于研究运动轨迹
   • 便于求导数和积分

4. 参数方程与普通方程的互化：

   • 参数方程 → 普通方程：消去参数
   • 普通方程 → 参数方程：利用三角函数

5. 实际应用：

   • 求圆上的特定点
   • 求两个圆的交点
   • 求圆的切线
   • 描述圆周运动

呼噜星人们，现在你们已经掌握了圆的参数方程，这不仅是数学知识，更是描述自然现象的强大工具。在日常生活中，从时钟指针的运动到行星的轨道，从齿轮的转动到游乐设施的运行，都可以用参数方程来描述。希望大家能将所学知识应用到实际问题中，真正体会到数学的魅力！

下一次课，我们将学习如何用参数方程表示更复杂的曲线，比如椭圆、双曲线等。让我们一起期待吧！

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