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向量减法

减法的定义

向量减法

\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)

向量减法可以理解为加上负向量： $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

几何解释

向量减法是向量加法的逆运算，可以通过将向量取反后相加来实现。

减法性质

向量减法性质

零向量性质：

\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}

相反性质：

\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})

与向量加法的关系：

\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

几何意义

向量减法可以理解为向量加法的逆运算，其几何意义可以通过两种方式来理解。

向量减法与负向量的关系

向量减法 $\vec{a} - \vec{b}$ 可以转换为向量加法 $\vec{a} + (-\vec{b})$ ，即将向量 $\vec{b}$ 取反后与向量 $\vec{a}$ 相加。

位置向量表示

在坐标系中，从点 $A$ 到点 $B$ 的位置向量为 $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ ，其中 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别是点 $A$ 和点 $B$ 的位置向量。这表示从点 $A$ 出发，沿着 $\vec{b} - \vec{a}$ 的方向移动即可到达点 $B$ 。

应用示例

位置向量

在坐标系中，从点 $A$ 到点 $B$ 的位置向量为 $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ ，其中 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别是点 $A$ 和点 $B$ 的位置向量。

相对位移

计算一个物体从位置 $\vec{a}$ 移动到位置 $\vec{b}$ 所需的位移向量： $\vec{b} - \vec{a}$ 。

练习题

练习 1

已知 $\vec{a} = (2, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, -1, 2)$ ，求 $\vec{a} - \vec{b}$ 。

参考答案 (2 个标签)

向量减法坐标运算

解题思路：使用向量减法的坐标运算规则。

详细步骤：

$\vec{a} - \vec{b} = (2-1, 3-(-1), 1-2) = (1, 4, -1)$

答案： $\vec{a} - \vec{b} = (1, 4, -1)$

练习 2

已知三点 $A(1, 2, 3)$ ， $B(2, 3, 4)$ ， $C(3, 4, 5)$ ，求向量 $\vec{AB}$ 和 $\vec{AC}$ 。

参考答案 (3 个标签)

向量减法位置向量坐标计算

解题思路：使用向量减法公式计算位置向量。

详细步骤：

$\vec{AB} = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1)$
$\vec{AC} = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$

答案： $\vec{AB} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{AC} = (2, 2, 2)$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\vec{a} - \vec{b}$	向量运算	a minus b	向量减法
$\vec{AB}$	位置向量	vector AB	从点A到点B的位置向量
$\vec{0}$	向量	zero vector	零向量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
向量减法	vector subtraction	/ˈvɛktər sʌbˈtrækʃən/	两个向量相减的运算
位置向量	position vector	/pəˈzɪʃən ˈvɛktər/	表示点的位置的向量
相对位移	relative displacement	/ˈrɛlətɪv dɪsˈpleɪsmənt/	物体位置变化的向量表示

上一章节向量加法学习向量之间的加法运算及其几何意义。

下一章节数乘运算学习向量与标量的乘法运算及其几何意义。

课程路线图

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函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。
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掌握行列式、矩阵、向量、线性方程组等，理解线性空间的抽象结构。

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