倒序相加法

倒序相加法是高斯小时候用来计算 $1+2+\cdots+100$ 的巧妙方法。这个方法利用数列的对称性，通过正序和倒序相加来简化计算。

方法原理

基本步骤：

1. 写出正序和：$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$
2. 写出倒序和：$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_1$
3. 两式相加：$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)$
4. 如果每对和相等，则 $2S_n = n(a_1 + a_n)$

适用场景

倒序相加法适用于满足以下条件的数列：

典型例子：

• 等差数列：$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$
• 组合数：$C_n^k + C_n^{n-k} = C_n^k + C_n^k$（当 $k = n-k$ 时）

经典应用：高斯求和

小高斯计算 $1+2+3+\cdots+100$ 的方法：

$2S = 100 \times 101 = 10100$

$S = 5050$

这正是等差数列求和公式的推导方法！

应用示例

示例1：等差数列求和

求和：$S_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)$

解：

$2S_n = n \times 2n = 2n^2$

$S_n = n^2$

示例2：对称数列

求和：$S_n = \frac{1}{1+\sqrt{n}} + \frac{1}{1+\sqrt{n-1}} + \cdots + \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{1+\sqrt{1}}$

解：

设 $a_k = \frac{1}{1+\sqrt{k}}$，则：

$S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1$

倒序：

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n$

观察：$a_k + a_{n-k+1}$ 是否为常数？

实际上，这个例子不满足简单的对称性，需要其他方法。

示例3：组合数求和

求和：$S_n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n$

解：

利用组合数性质 $C_n^k = C_n^{n-k}$：

但更简单的方法是利用二项式定理：$(1+1)^n = 2^n$

练习题

练习 1

求和：$S_n = 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n$

练习 2

求和：$S = 1 \times 2024 + 2 \times 2023 + 3 \times 2022 + \cdots + 2024 \times 1$

总结

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