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aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 型

这种递推关系使用累加法（叠加法）求解，是一种灵活的类型。

递推关系

累加型递推关系
an+1=an+f(n)a_{n+1} = a_n + f(n)

特征：每次加上一个关于 nn 的函数 f(n)f(n)。

求解方法：累加法

从递推关系出发，写出多个式子：

a2−a1=f(1)a3−a2=f(2)a4−a3=f(3)⋮an−an−1=f(n−1)\begin{aligned} a_2 - a_1 &= f(1) \\ a_3 - a_2 &= f(2) \\ a_4 - a_3 &= f(3) \\ &\vdots \\ a_n - a_{n-1} &= f(n-1) \end{aligned}

将所有式子相加（左边叠加，右边叠加）：

(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=f(1)+f(2)+⋯+f(n−1)(a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_n - a_{n-1}) = f(1) + f(2) + \cdots + f(n-1)

左边大部分项相消，只剩：

an−a1=∑k=1n−1f(k)a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} f(k)

通项公式
an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)

应用示例

示例1：f(n)=nf(n) = n

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=an+na_{n+1} = a_n + n，求通项公式。

解：

an=a1+∑k=1n−1k=1+(n−1)n2=1+n2−n2=n2−n+22\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k \\ &= 1 + \frac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + \frac{n^2 - n}{2} \\ &= \frac{n^2 - n + 2}{2} \end{aligned}

示例2：f(n)=2nf(n) = 2^n

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2^n，求通项公式。

解：

an=a1+∑k=1n−12k=1+2(2n−1−1)2−1=1+2n−2=2n−1\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k \\ &= 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} \\ &= 1 + 2^n - 2 \\ &= 2^n - 1 \end{aligned}

示例3：f(n)=1n(n+1)f(n) = \frac{1}{n(n+1)}

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=0a_1 = 0，an+1=an+1n(n+1)a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n(n+1)}，求通项公式。

解：

利用裂项：1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

an=0+∑k=1n−11k(k+1)=∑k=1n−1(1k−1k+1)=(11−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)=1−1n=n−1n\begin{aligned} a_n &= 0 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{n} \\ &= \frac{n-1}{n} \end{aligned}

练习题

练习 1

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=2a_1 = 2，an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n，求通项公式。

参考答案 (2 个标签)
递推关系 线性递推

解：

an=a1+∑k=1n−12k=2+2∑k=1n−1k=2+2⋅(n−1)n2=2+n(n−1)=n2−n+2\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k \\ &= 2 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} \\ &= 2 + n(n-1) \\ &= n^2 - n + 2 \end{aligned}

答案：an=n2−n+2a_n = n^2 - n + 2

练习 2

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=an+3na_{n+1} = a_n + 3^n，求 a5a_5。

参考答案 (2 个标签)
递推关系 线性递推

解：

a5=a1+∑k=143k=1+(3+9+27+81)=1+120=121\begin{aligned} a_5 &= a_1 + \sum_{k=1}^{4} 3^k \\ &= 1 + (3 + 9 + 27 + 81) \\ &= 1 + 120 \\ &= 121 \end{aligned}

或使用等比数列求和公式： a5=1+3(34−1)3−1=1+3×802=121a_5 = 1 + \frac{3(3^4 - 1)}{3 - 1} = 1 + \frac{3 \times 80}{2} = 121

答案：a5=121a_5 = 121

练习 3

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=an+1(n+1)na_{n+1} = a_n + \frac{1}{(n+1)n}，求通项公式。

参考答案 (2 个标签)
递推关系 线性递推

解：

注意：1(n+1)n=1n−1n+1\frac{1}{(n+1)n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

an=1+∑k=1n−11(k+1)k=1+∑k=1n−1(1k−1k+1)=1+(1−1n)=2−1n=2n−1n\begin{aligned} a_n &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)k} \\ &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) \\ &= 2 - \frac{1}{n} \\ &= \frac{2n - 1}{n} \end{aligned}

答案：an=2n−1na_n = \frac{2n - 1}{n}

总结

中英对照

中文术语英文术语音标说明
累加法telescoping sum/ˈtelɪskəʊpɪŋ sʌm/通过累加求解递推关系的方法
叠加法summation method/sʌˈmeɪʃən ˈmeθəd/累加法的另一种说法
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