常见分布的数学期望

常见分布的数学期望

两点分布

分布律：$P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k}$，$k = 0, 1$

数学期望：$E(X) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p$

二项分布

分布律：$P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$，$k = 0, 1, 2, \dots, n$

数学期望：$E(X) = np$

证明： $E(X) = \sum_{k=0}^n k C_n^k p^k(1-p)^{n-k} = \sum_{k=1}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}$ $= np \sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k} = np \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^j p^j(1-p)^{n-1-j} = np$

泊松分布

分布律：$P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$，$k = 0, 1, 2, \dots$

数学期望：$E(X) = \lambda$

证明： $E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda$

均匀分布

密度函数：$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

数学期望：$E(X) = \frac{a+b}{2}$

证明： $E(X) = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{x^2}{2}\big|_a^b = \frac{b^2-a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$

指数分布

密度函数：$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$

数学期望：$E(X) = \frac{1}{\lambda}$

证明： $E(X) = \int_0^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_0^{\infty} x e^{-\lambda x} dx$ $= \lambda \left[ -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{\lambda}$

正态分布

密度函数：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

数学期望：$E(X) = \mu$

证明： $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$ 令 $y = x - \mu$，则： $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (y + \mu) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy$ $= \int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy + \mu \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy$ 第一项为 0（奇函数），第二项为 $\mu$，所以 $E(X) = \mu$。

练习题

练习 1

已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，求 $E(X)$。

练习 2

已知随机变量 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，求 $E(X)$。