解的结构与基础解系

解的结构

齐次线性方程组的解结构

定理：齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$的解空间是向量空间。

证明：

1. 零解 $\vec{0}$是解
2. 如果 $\vec{x}_1, \vec{x}_2$ 是解，则 $\vec{x}_1 + \vec{x}_2$ 也是解
3. 如果 $\vec{x}$是解，$k$ 是常数，则 $k\vec{x}$也是解

非齐次线性方程组的解结构

定理：设 $\vec{x}_0$ 是非齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{b}$的一个特解，$\vec{x}_h$ 是对应齐次方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$的任意解，则 $\vec{x}_0 + \vec{x}_h$ 是非齐次方程组的解。

证明： $A(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}$

解的结构定理

定理：非齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{b}$的通解为： $\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{x}_h$

其中：

• $\vec{x}_0$ 是非齐次方程组的一个特解
• $\vec{x}_h$ 是对应齐次方程组的通解

基础解系

基础解系的定义

基础解系的性质

性质：

1. 基础解系中的向量线性无关
2. 齐次方程组的任意解都可以表示为基础解系的线性组合
3. 基础解系中向量的个数等于自由变量的个数

基础解系的求法

步骤：

1. 用高斯消元法将系数矩阵化为行阶梯形
2. 确定主元和自由变量
3. 对每个自由变量，令其等于 1，其他自由变量等于 0，求解得到基础解系

例子

例 1：求方程组 $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}$ 的基础解系。

解：

1. 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}$
2. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
3. 主元：$x$，自由变量：$y, z$
4. 令 $y = 1, z = 0$，得 $\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)$
5. 令 $y = 0, z = 1$，得 $\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)$
6. 基础解系：$\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}$

通解

通解的定义

齐次方程组的通解

形式：$\vec{x} = k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_r$

其中：

• $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\}$ 是基础解系
• $k_1, k_2, \dots, k_r$ 是任意常数

非齐次方程组的通解

形式：$\vec{x} = \vec{x}_0 + k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_r$

其中：

• $\vec{x}_0$ 是特解
• $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\}$ 是对应齐次方程组的基础解系
• $k_1, k_2, \dots, k_r$ 是任意常数

解的结构分析

唯一解

条件：当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组有唯一解。

特点：

• 齐次方程组只有零解
• 非齐次方程组有唯一解

无穷多解

条件：当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。

特点：

• 齐次方程组有无穷多解
• 非齐次方程组有无穷多解
• 自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩

无解

条件：当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。

解空间的维数

解空间维数的计算

定理：齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$的解空间的维数等于 $n - r(A)$，其中 $n$ 是未知数的个数，$r(A)$ 是系数矩阵的秩。

例子

例 2：分析方程组 $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}$ 的解空间维数。

解：

1. 系数矩阵：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
2. $r(A) = 1$，$n = 3$
3. 解空间维数：$3 - 1 = 2$

参数解

参数解的定义

定义：用参数表示的解称为参数解。

参数解的求法

步骤：

1. 用高斯消元法化为行阶梯形
2. 确定主元和自由变量
3. 用自由变量作为参数表示其他变量

例子

例 3：求方程组 $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}$ 的参数解。

解：

1. 化为行阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
2. 主元：$x$，自由变量：$y, z$
3. 设 $y = t$，$z = s$，则 $x = -t - s$
4. 参数解：$x = -t - s$，$y = t$，$z = s$（$t, s$ 为任意常数）

练习题

练习 1

写出 $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}$ 的基础解系。

练习 2

求方程组 $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}$ 的通解。

练习 3

求方程组 $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \end{cases}$ 的参数解。

练习 4

分析方程组 $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}$ 的解结构。

练习 5

证明：非齐次线性方程组的通解等于特解加上对应齐次方程组的通解。