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克拉默法则

克拉默法则

克拉默法则的定义

克拉默法则

定理：设 n 元线性方程组：

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

如果系数矩阵 A=(aij)A = (a_{ij}) 的行列式 det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0，则方程组有唯一解： xj=det⁡(Aj)det⁡(A)(j=1,2,…,n)x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} \qquad (j=1,2,\dots,n)

其中 AjA_j 是将系数矩阵 AA 的第 jj 列替换为常数项 b⃗\vec{b}后得到的矩阵。

克拉默法则的条件

条件：

  1. 方程组必须是 n 个方程 n 个未知数（方阵）
  2. 系数矩阵的行列式 ∣A∣≠0|A| \neq 0

注意：当 ∣A∣=0|A| = 0 时，克拉默法则不适用，需要用其他方法求解。

克拉默法则的证明

证明思路：

  1. 设 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}有唯一解 x⃗=A−1b⃗\vec{x} = A^{-1}\vec{b}
  2. 利用伴随矩阵的性质：A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*
  3. 得到 xi=1∣A∣∑j=1nAjibjx_i = \frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j
  4. 其中 AjiA_{ji} 是 AA 的代数余子式
  5. 可以证明 ∑j=1nAjibj=∣Ai∣\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j = |A_i|

克拉默法则的应用

求解步骤

  1. 检查条件：确认方程组是 n×n 的，且 ∣A∣≠0|A| \neq 0
  2. 计算 ∣A∣|A|：计算系数矩阵的行列式
  3. 计算 ∣Ai∣|A_i|：将第 i 列替换为常数项向量，计算行列式
  4. 求解：xi=∣Ai∣∣A∣x_i = \frac{|A_i|}{|A|}

例子

例 1：用克拉默法则解方程组： {x+2y=53x−y=4\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}

解：

  1. 系数矩阵：A=(123−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}
  2. ∣A∣=1×(−1)−2×3=−1−6=−7≠0|A| = 1 \times (-1) - 2 \times 3 = -1 - 6 = -7 \neq 0
  3. ∣A1∣=∣524−1∣=5×(−1)−2×4=−5−8=−13|A_1| = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 5 \times (-1) - 2 \times 4 = -5 - 8 = -13
  4. ∣A2∣=∣1534∣=1×4−5×3=4−15=−11|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 5 \times 3 = 4 - 15 = -11
  5. x=−13−7=137x = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}，y=−11−7=117y = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7}

克拉默法则的优缺点

优点

  1. 理论意义：给出了解的显式表达式
  2. 计算简单：对于小规模方程组，计算相对简单
  3. 精确解：可以得到精确的分数解

缺点

  1. 计算量大：对于大规模方程组，需要计算多个行列式
  2. 条件限制：只适用于方阵且行列式不为零的情况
  3. 数值稳定性：当行列式接近零时，计算误差较大

克拉默法则的推广

齐次方程组

定理：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}有非零解的充要条件是 ∣A∣=0|A| = 0。

证明：

  • 如果 ∣A∣≠0|A| \neq 0，则只有零解
  • 如果 ∣A∣=0|A| = 0，则有无穷多解，包括非零解

非方阵情况

对于 m×n 的方程组（m ≠ n），克拉默法则不适用，需要用其他方法求解。

练习题

练习 1

用克拉默法则解方程组 {2x+y=7x−3y=−4\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -4 \end{cases}。

参考答案

解题思路： 按照克拉默法则的步骤求解。

详细步骤：

  1. 系数矩阵：A=(211−3)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}
  2. ∣A∣=2×(−3)−1×1=−6−1=−7≠0|A| = 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0
  3. ∣A1∣=∣71−4−3∣=7×(−3)−1×(−4)=−21+4=−17|A_1| = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} = 7 \times (-3) - 1 \times (-4) = -21 + 4 = -17
  4. ∣A2∣=∣271−4∣=2×(−4)−7×1=−8−7=−15|A_2| = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 2 \times (-4) - 7 \times 1 = -8 - 7 = -15
  5. x=−17−7=177x = \frac{-17}{-7} = \frac{17}{7}，y=−15−7=157y = \frac{-15}{-7} = \frac{15}{7}

答案：x=177x = \frac{17}{7}，y=157y = \frac{15}{7}

练习 2

判断方程组 {x+y=12x+2y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 2 \end{cases} 是否可以用克拉默法则求解。

参考答案

解题思路： 检查系数矩阵的行列式。

详细步骤：

  1. 系数矩阵：A=(1122)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
  2. ∣A∣=1×2−1×2=2−2=0|A| = 1 \times 2 - 1 \times 2 = 2 - 2 = 0
  3. 行列式为零，克拉默法则不适用

答案：不能用克拉默法则求解

练习 3

用克拉默法则解方程组 {x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}。

参考答案

解题思路： 按照克拉默法则的步骤求解三元方程组。

详细步骤：

  1. 系数矩阵：A=(1112311−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
  2. ∣A∣=1×(3×2−1×(−1))−1×(2×2−1×1)+1×(2×(−1)−3×1)=1×7−1×3+1×(−5)=7−3−5=−1≠0|A| = 1 \times (3 \times 2 - 1 \times (-1)) - 1 \times (2 \times 2 - 1 \times 1) + 1 \times (2 \times (-1) - 3 \times 1) = 1 \times 7 - 1 \times 3 + 1 \times (-5) = 7 - 3 - 5 = -1 \neq 0
  3. ∣A1∣=∣61113314−12∣=6×(3×2−1×(−1))−1×(13×2−1×4)+1×(13×(−1)−3×4)=6×7−1×22+1×(−25)=42−22−25=−5|A_1| = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 13 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 6 \times (3 \times 2 - 1 \times (-1)) - 1 \times (13 \times 2 - 1 \times 4) + 1 \times (13 \times (-1) - 3 \times 4) = 6 \times 7 - 1 \times 22 + 1 \times (-25) = 42 - 22 - 25 = -5
  4. ∣A2∣=∣1612131142∣=1×(13×2−1×4)−6×(2×2−1×1)+1×(2×4−13×1)=1×22−6×3+1×(−5)=22−18−5=−1|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 13 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times (13 \times 2 - 1 \times 4) - 6 \times (2 \times 2 - 1 \times 1) + 1 \times (2 \times 4 - 13 \times 1) = 1 \times 22 - 6 \times 3 + 1 \times (-5) = 22 - 18 - 5 = -1
  5. ∣A3∣=∣11623131−14∣=1×(3×4−13×(−1))−1×(2×4−13×1)+6×(2×(−1)−3×1)=1×25−1×(−5)+6×(−5)=25+5−30=0|A_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 13 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times (3 \times 4 - 13 \times (-1)) - 1 \times (2 \times 4 - 13 \times 1) + 6 \times (2 \times (-1) - 3 \times 1) = 1 \times 25 - 1 \times (-5) + 6 \times (-5) = 25 + 5 - 30 = 0
  6. x=−5−1=5x = \frac{-5}{-1} = 5，y=−1−1=1y = \frac{-1}{-1} = 1，z=0−1=0z = \frac{0}{-1} = 0

答案：x=5x = 5，y=1y = 1，z=0z = 0

练习 4

证明：如果齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}有非零解，则 ∣A∣=0|A| = 0。

参考答案

解题思路： 利用克拉默法则和反证法。

详细步骤：

  1. 假设 ∣A∣≠0|A| \neq 0
  2. 根据克拉默法则，方程组有唯一解
  3. 由于是齐次方程组，唯一解是零解
  4. 这与有非零解矛盾
  5. 所以 ∣A∣=0|A| = 0

答案：证明完成

练习 5

判断方程组 {x+2y=52x+4y=10\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases} 的解的情况。

参考答案

解题思路： 先检查行列式，再分析解的情况。

详细步骤：

  1. 系数矩阵：A=(1224)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}
  2. ∣A∣=1×4−2×2=4−4=0|A| = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0
  3. 克拉默法则不适用
  4. 观察两个方程：第二个方程是第一个方程的 2 倍
  5. 两个方程等价，有无穷多解

答案：有无穷多解

上一章节 线性方程组的基本概念 学习线性方程组的定义、分类、矩阵表示等基本概念
下一章节 高斯消元法 学习初等行变换、高斯消元法的步骤和应用，掌握用消元法求解线性方程组的方法

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