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特征值与特征向量的基本概念

特征值与特征向量的定义

特征值的定义

特征值

定义：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在非零向量 $\vec{x}$ 和数 $\lambda$ ，使得： $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值， $\vec{x}$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

特征向量的定义

特征向量

定义：满足 $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$ 的非零向量 $\vec{x}$ 称为矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

特征子空间

定义：对应于特征值 $\lambda$ 的所有特征向量加上零向量构成的子空间称为特征子空间，记为 $E_\lambda$ 。

特征方程

特征多项式的定义

特征多项式

定义：矩阵 $A$ 的特征多项式定义为： $f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$

其中 $I$ 是单位矩阵， $\lambda$ 是变量， $\det$ 表示行列式。

特征方程

定义：方程 $|A - \lambda I| = 0$ 称为矩阵 $A$ 的特征方程。

特征值的求法

步骤：

写出特征方程 $|A - \lambda I| = 0$
求解特征方程得到特征值
对每个特征值，求解齐次方程组 $(A - \lambda I)\vec{x} = \vec{0}$ 得到特征向量

例子

例 1：求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

解：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
求解： $\lambda = 1$ 或 $\lambda = 3$
对于 $\lambda = 1$ $λ = 1$ ：
- 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$
对于 $\lambda = 3$ $λ = 3$ ：
- 解方程组 $(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 1)$

特征值与特征向量的性质

基本性质

性质 1： $n$ 阶矩阵有 $n$ 个特征值（重数计算在内）。

性质 2：特征值的和等于矩阵的迹： $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{tr}(A)$

性质 3：特征值的积等于矩阵的行列式： $\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|$

特征向量的性质

性质 1：对应于不同特征值的特征向量线性无关。

性质 2：对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量。

性质 3：特征向量不是唯一的，但特征值是唯一的。

特征多项式的性质

性质 1：特征多项式的次数等于矩阵的阶数。

性质 2：特征多项式的常数项等于 $(-1)^n|A|$ 。

性质 3：特征多项式的最高次项系数为 $(-1)^n$ 。

特征值的重数

代数重数

定义：特征值 $\lambda$ 在特征多项式中作为根的重数称为代数重数。

几何重数

定义：对应于特征值 $\lambda$ 的线性无关特征向量的最大个数称为几何重数。

重数的关系

定理：几何重数 ≤ 代数重数

证明：几何重数等于特征子空间的维数，而特征子空间的维数不超过代数重数。

特征值与特征向量的计算

计算步骤

写出特征方程： $|A - \lambda I| = 0$
求解特征值：解特征方程得到所有特征值
求特征向量：对每个特征值，解齐次方程组 $(A - \lambda I)\vec{x} = \vec{0}$
验证结果：验证 $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$ 是否成立

注意事项

特征向量非零：特征向量不能是零向量
特征向量不唯一：同一特征值对应的特征向量有无穷多个
重根处理：重根对应的特征向量需要特殊处理
复数特征值：特征值可能是复数

练习题

练习 1

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

参考答案

解题思路：按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $(3-\lambda)(2-\lambda) = 0$
求解： $\lambda = 2$ 或 $\lambda = 3$
对于 $\lambda = 2$ $λ = 2$ ：
- 解方程组 $(A - 2I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$
对于 $\lambda = 3$ $λ = 3$ ：
- 解方程组 $(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

答案：特征值 $\lambda_1 = 2$ ， $\lambda_2 = 3$ ；对应特征向量 $\vec{x}_1 = (1, -1)$ ， $\vec{x}_2 = (1, 0)$

练习 2

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

参考答案

解题思路：按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $(1-\lambda)^2 = 0$
求解： $\lambda = 1$ （二重根）
对于 $\lambda = 1$ $λ = 1$ ：
- 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

答案：特征值 $\lambda = 1$ （二重根）；对应特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

练习 3

证明：对应于不同特征值的特征向量线性无关。

参考答案

解题思路：用反证法证明。

详细步骤：

假设对应于不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ 的特征向量 $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_k$ 线性相关
则存在不全为零的常数 $c_1, c_2, \dots, c_k$ ，使得 $c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2 + \dots + c_k\vec{x}_k = \vec{0}$
设 $c_1 \neq 0$ ，则 $\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\vec{x}_k$
两边左乘 $A$ ： $A\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}A\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}A\vec{x}_k$
即 $\lambda_1\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\lambda_2\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\lambda_k\vec{x}_k$
这与特征值不同矛盾

答案：证明完成

练习 4

设矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 2, 3$ ，求 $|A|$ 和 $\operatorname{tr}(A)$ 。

参考答案

解题思路：利用特征值的性质。

详细步骤：

特征值的积等于行列式： $|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$
特征值的和等于迹： $\operatorname{tr}(A) = 1 + 2 + 3 = 6$

答案： $|A| = 6$ ， $\operatorname{tr}(A) = 6$

练习 5

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

参考答案

解题思路：按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $\lambda^2 - 1 = 0$
求解： $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$
对于 $\lambda = 1$ $λ = 1$ ：
- 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 1)$
对于 $\lambda = -1$ $λ = - 1$ ：
- 解方程组 $(A + I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$

答案：特征值 $\lambda_1 = 1$ ， $\lambda_2 = -1$ ；对应特征向量 $\vec{x}_1 = (1, 1)$ ， $\vec{x}_2 = (1, -1)$

上一章节特征值与特征向量理解矩阵的特征值、特征向量、相似、对角化、实对称矩阵等

下一章节相似与对角化学习相似矩阵、对角化条件、对角化过程等概念和方法

课程路线图

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