行列式的计算方法

行列式的计算方法

行列式的计算是线性代数中的基本技能，掌握多种计算方法可以提高解题效率。

展开法

按行展开

方法：选择一行，按该行展开行列式。

公式：$|A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

其中 $M_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的余子式。

选择原则：

• 选择零元素较多的行
• 选择元素较小的行
• 选择便于计算的行

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}$

解：选择第二行（有零元素）展开： $|A| = 0 \times (-1)^{2+1} M_{21} + 1 \times (-1)^{2+2} M_{22} + 4 \times (-1)^{2+3} M_{23}$ $= 0 - M_{21} + M_{22} - 4M_{23}$ $= M_{22} - 4M_{23}$ $= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$ $= (1 \times 0 - 3 \times 5) - 4(1 \times 6 - 2 \times 5)$ $= -15 - 4(-4) = -15 + 16 = 1$

按列展开

方法：选择一列，按该列展开行列式。

公式：$|A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

解：选择第二列（有零元素）展开： $|A| = 0 \times (-1)^{1+2} M_{12} + 3 \times (-1)^{2+2} M_{22} + 2 \times (-1)^{3+2} M_{32}$ $= -0 \times M_{12} + 3 \times M_{22} - 2 \times M_{32}$ $= 3M_{22} - 2M_{32}$ $= 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$ $= 3(2 \times 4 - 1 \times 0) - 2(2 \times 0 - 1 \times 1)$ $= 3(8) - 2(-1) = 24 + 2 = 26$

性质法

利用基本性质简化

策略：

1. 利用行（列）加法性质，将行列式化为上三角或下三角形式
2. 利用行（列）交换性质，将零元素较多的行（列）移到便于展开的位置
3. 利用提取公因子性质，简化计算

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

解：

1. 将第一行的-2 倍加到第二行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

2. 将第一行的-3 倍加到第三行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

3. 由于有一行全为零，所以行列式为零。

分块法

适用条件：行列式可以分块，且某些块为零或为单位矩阵。

公式：

• 对于 $\begin{vmatrix} A & B \\ 0 & D \end{vmatrix}$，有 $|A| \cdot |D|$
• 对于 $\begin{vmatrix} A & 0 \\ C & D \end{vmatrix}$，有 $|A| \cdot |D|$

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

解： 这是一个分块对角矩阵： $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ $= (1 \times 4 - 2 \times 3) \times (2 \times 4 - 1 \times 3)$ $= (4 - 6) \times (8 - 3) = (-2) \times 5 = -10$

特殊方法

范德蒙德行列式

定义：形如 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$ 的行列式。

公式：$|V| = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}$

解： $|V| = (2-1)(3-1)(3-2) = 1 \times 2 \times 1 = 2$

循环行列式

定义：形如 $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$ 的行列式。

公式：$|A| = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

解： $|A| = 1^3 + 2^3 + 3^3 - 3 \times 1 \times 2 \times 3$ $= 1 + 8 + 27 - 18 = 18$

计算技巧

观察法

技巧：

1. 观察行列式是否有特殊结构
2. 寻找零元素较多的行或列
3. 寻找成比例的行或列
4. 寻找可以分块的结构

递推法

适用：n 阶行列式与(n-1)阶行列式有关系。

例子： 计算 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

解： 按第一行展开： $|A| = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

继续展开得到递推关系。

练习题

练习 1

计算行列式 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$。

练习 2

利用性质法计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$。

练习 3

计算范德蒙德行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{vmatrix}$。

练习 4

计算分块行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}$。

练习 5

计算循环行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$。