行列式的应用

行列式的应用

行列式不仅在数学理论中有重要地位，在实际应用中也有广泛用途。

线性方程组

克拉默法则

定理：对于 n 元线性方程组 $Ax = b$，如果系数矩阵 $A$ 的行列式 $|A| \neq 0$，则方程组有唯一解：

$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad i = 1, 2, \ldots, n$

其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为常数向量 $b$ 得到的矩阵。

证明：

1. 如果 $|A| \neq 0$，则 $A$ 可逆
2. 方程组的解为 $x = A^{-1}b$
3. 利用伴随矩阵公式：$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$
4. 得到 $x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$

例子： 解方程组： $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 7 \end{cases}$

解：

1. $|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$

2. $|A_1| = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} = 5 \times 3 - 1 \times 7 = 8$

3. $|A_2| = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 2 \times 7 - 5 \times 1 = 9$

4. $x = \frac{8}{5} = \frac{8}{5}$，$y = \frac{9}{5} = \frac{9}{5}$

齐次线性方程组

定理：齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解的充要条件是 $|A| = 0$。

证明：

1. 如果 $|A| \neq 0$，则 $A$ 可逆，唯一解为 $x = 0$
2. 如果 $|A| = 0$，则 $A$ 不可逆，存在非零解

矩阵求逆

伴随矩阵法

公式：如果 $|A| \neq 0$，则 $A$ 的逆矩阵为：

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$

其中 $\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵。

伴随矩阵：$\text{adj}(A) = (A_{ji})$，其中 $A_{ji}$ 是元素 $a_{ji}$ 的代数余子式。

例子： 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解：

1. $|A| = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$

2. $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

3. $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

分块矩阵求逆

公式：对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，如果 $A$ 可逆，则：

$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}$

几何应用

面积和体积

二维：以向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$ 为邻边的平行四边形面积为：

$S = \left| \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right|$

三维：以向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$、$\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$ 为邻边的平行六面体体积为：

$V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right|$

例子： 计算以向量 $(1, 2)$ 和 $(3, 4)$ 为邻边的平行四边形面积。

解： $S = \left| \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \right| = |1 \times 4 - 2 \times 3| = |4 - 6| = 2$

线性变换

定理：线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 的雅可比行列式表示变换后体积的缩放比例。

公式：如果 $T$ 的矩阵为 $A$，则：

$\text{vol}(T(S)) = |\det(A)| \cdot \text{vol}(S)$

其中 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的可测集。

例子： 线性变换 $T(x, y) = (2x + y, x + 3y)$ 的雅可比行列式。

解： $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$

所以变换将面积放大 5 倍。

特征值和特征向量

特征多项式

定义：矩阵 $A$ 的特征多项式为：

$p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

特征值：特征多项式的根就是矩阵的特征值。

例子： 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 的特征值。

解： $p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}$

$= (2-\lambda)(3-\lambda) - 1 \times 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 5$

解方程 $\lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0$ 得： $\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$

数值计算

条件数

定义：矩阵 $A$ 的条件数定义为：

$\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|$

其中 $\|A\|$ 是矩阵的范数。

性质：如果 $A$ 可逆，则：

$\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}$

其中 $\sigma_{\max}(A)$ 和 $\sigma_{\min}(A)$ 分别是 $A$ 的最大和最小奇异值。

稳定性分析

定理：线性方程组 $Ax = b$ 的解对系数扰动的敏感性与矩阵的条件数有关。

结论：条件数越大，方程组越不稳定。

练习题

练习 1

用克拉默法则解方程组： $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x + 5y = 12 \end{cases}$

练习 2

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

练习 3

计算以向量 $(1, 1, 1)$、$(1, 2, 3)$、$(1, 4, 9)$ 为邻边的平行六面体体积。

练习 4

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值。

练习 5

判断齐次方程组 $\begin{cases} x + 2y = 0 \\ 2x + 4y = 0 \end{cases}$ 是否有非零解。