数列极限的运算法则

数列极限的运算法则与函数极限类似，但数列只在离散的点上定义，因此有其特殊性。

基本运算法则

与函数极限的关系

数列可以看作是定义在正整数集上的函数，因此数列极限是函数极限的特殊情况。

如果 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$，则 $\lim_{n \to \infty} f(n) = A$。

但反过来不一定成立：$\lim_{n \to \infty} f(n) = A$ 不能推出 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$。

例子

函数 $f(x) = \sin(\pi x)$：

• 数列极限：$\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi) = 0$（因为 $\sin(n\pi) = 0$ 对所有整数 $n$）
• 函数极限：$\lim_{x \to \infty} \sin(\pi x)$ 不存在（因为函数在 $[-1, 1]$ 之间振荡）

应用例子

例子 1

计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n}$

解： $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2$

例子 2

计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n}{n^2 + 1}$

解： $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

例子 3

计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n}$

解： $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^3} = 0$

特殊数列的极限

常见数列极限

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

2. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$（$k > 0$）

3. $\lim_{n \to \infty} a^n = 0$（$|a| < 1$）

4. $\lim_{n \to \infty} a^n = \infty$（$a > 1$）

5. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

6. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$（$a > 0$）

练习题

练习 1

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{2n + 1}$。

练习 2

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n}$。

练习 3

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2}\right)$。

总结

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中英对照