指数函数极限

指数函数极限是极限理论中的重要公式，在极限计算中经常用到。

基本形式

详细推导过程

步骤 1：变量代换

• 令 $t = e^x - 1$
• 则 $e^x = 1 + t$
• 两边取对数：$x = \ln(1 + t)$

步骤 2：极限转换 当 $x \to 0$ 时：

• 由于 $t = e^x - 1$，当 $x \to 0$ 时，$e^x \to 1$，所以 $t \to 0$

步骤 3：建立等式 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)}$

步骤 4：利用第二个重要极限 第二个重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

第二个重要极限的详细解释：

第二个重要极限的原始形式是： $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

通过变量代换，可以得到倒数形式： $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

两边取对数： $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + x) = 1$

即： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

利用指数和对数的逆运算关系，最终得到： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

因此： $\lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)} = 1$

关键理解：这个等式的核心思想是指数函数和对数函数互为逆运算。通过变量代换，将指数函数的极限转化为对数函数的极限，最终利用已知的第二个重要极限得到结果。

推广形式

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{x} = k$

等价无穷小

利用这个重要极限，我们可以得到重要的等价无穷小：

• 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$

应用例子

例子 1

求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$

解： $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{2x}$。

总结

本文出现的符号

中英对照