重要极限综合练习

解题思路： 利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$

2. $= 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$

答案：极限值为 5。

解题思路： 利用第二个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = e^3$

答案：极限值为 $e^3$。

解题思路： 利用等价无穷小代换。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，$\sin x \sim x$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用对数函数极限。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x^2) \sim x^2$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用幂函数极限公式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^3 - 1}{x} = 3$

答案：极限值为 3。

解题思路： 利用正切函数极限和变量代换。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

答案：极限值为 2。

解题思路： 利用余弦函数极限。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

答案：极限值为 $\frac{1}{2}$。

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^t = e^2$

答案：极限值为 $e^2$。

解题思路： 利用复合函数的等价无穷小。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$

2. 因此 $\sin(e^x - 1) \sim e^x - 1 \sim x$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x + 1$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x+1}\right)^x = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t-1}$

3. $= \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \cdot \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-1} = e \cdot 1 = e$

答案：极限值为 $e$。

解题思路： 利用复合函数的等价无穷小。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$

2. 因此 $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用反正弦函数极限。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用反正切函数极限。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x^2$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

答案：极限值为 $e$。

解题思路： 利用变量代换和第一个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x^3$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{x^3} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

答案：极限值为 1。