反常积分

反常积分

反常积分是定积分的推广，它处理的是积分区间无界或被积函数在区间内无界的情况。反常积分在数学分析和实际应用中具有重要意义。

反常积分的概念

基本定义

反常积分：当积分区间无界或被积函数在区间内无界时，称为反常积分。

分类：

1. 第一类反常积分：积分区间无界
2. 第二类反常积分：被积函数在区间内无界

第一类反常积分

无穷区间上的积分

定义：设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，则

$\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx$

如果极限存在，则称反常积分收敛；否则称发散。

类似地：

• $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx$
• $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx$

收敛性判别法

比较判别法：设 $0 \leq f(x) \leq g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上成立，则：

1. 如果 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛
2. 如果 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 发散，则 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 发散

极限判别法：设 $f(x) \geq 0$，$g(x) \geq 0$，且 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$，则：

1. 如果 $0 < L < +\infty$，则 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 与 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 同敛散
2. 如果 $L = 0$ 且 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛
3. 如果 $L = +\infty$ 且 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 发散，则 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 发散

第一类反常积分的例子

例子 1：计算 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$

解：

• $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} dx$
• $= \lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b} + 1) = 1$

例子 2：判断 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx$ 的收敛性

解：

• $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x} dx$
• $= \lim_{b \to +\infty} [\ln x]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (\ln b - 0) = +\infty$
• 所以积分发散

例子 3：计算 $\int_0^{+\infty} e^{-x} dx$

解：

• $\int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b e^{-x} dx$
• $= \lim_{b \to +\infty} [-e^{-x}]_0^b = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} + 1) = 1$

第二类反常积分

无界函数的积分

定义：设 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上连续，在 $x = b$ 处无界，则

$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx$

如果极限存在，则称反常积分收敛；否则称发散。

类似地：

• 如果 $f(x)$ 在 $x = a$ 处无界：$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) dx$
• 如果 $f(x)$ 在 $x = c \in (a, b)$ 处无界：$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$

第二类反常积分的例子

例子 1：计算 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

解：

• $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $x = 0$ 处无界
• $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$
• $= \lim_{\varepsilon \to 0^+} [2\sqrt{x}]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\varepsilon}) = 2$

例子 2：判断 $\int_0^1 \frac{1}{x} dx$ 的收敛性

解：

• $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处无界
• $\int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{x} dx$
• $= \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\ln x]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (0 - \ln \varepsilon) = +\infty$
• 所以积分发散

例子 3：计算 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

解：

• $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 在 $x = 1$ 处无界
• $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^{1-\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
• $= \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\arcsin x]_0^{1-\varepsilon} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (\arcsin(1-\varepsilon) - 0) = \frac{\pi}{2}$

反常积分的性质

线性性质

定理：设 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 和 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 都收敛，$k$ 为常数，则：

1. $\int_a^{+\infty} [f(x) + g(x)] dx = \int_a^{+\infty} f(x) dx + \int_a^{+\infty} g(x) dx$
2. $\int_a^{+\infty} k f(x) dx = k \int_a^{+\infty} f(x) dx$

绝对收敛

定义：如果 $\int_a^{+\infty} |f(x)| dx$ 收敛，则称 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 绝对收敛。

定理：绝对收敛的反常积分一定收敛。

注意：收敛的反常积分不一定绝对收敛。

收敛性判别法总结

第一类反常积分：

1. $p$ 积分：$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散
2. 指数积分：$\int_0^{+\infty} e^{-ax} dx$ 当 $a > 0$ 时收敛

第二类反常积分：

1. $p$ 积分：$\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ 当 $p < 1$ 时收敛，当 $p \geq 1$ 时发散
2. 对数积分：$\int_0^1 \frac{1}{x \ln x} dx$ 发散

反常积分的应用

1. 概率论中的应用

正态分布的归一化： $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi}$

指数分布： $\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx = 1$

2. 物理学中的应用

引力势能： $\int_r^{+\infty} \frac{GMm}{x^2} dx = \frac{GMm}{r}$

电磁场： $\int_0^{+\infty} \frac{1}{r^2} dr = \frac{1}{r_0}$

3. 数学分析中的应用

伽马函数： $\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} dx$

贝塔函数： $B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$

常见错误和注意事项

1. 收敛性判断错误

错误：认为所有反常积分都收敛 正确：需要具体判断收敛性

错误：忽略被积函数的无界点 正确：必须考虑所有无界点

2. 计算方法错误

错误：直接使用牛顿-莱布尼茨公式 正确：必须先判断积分类型，再选择合适的方法

错误：忽略极限的存在性 正确：必须验证极限是否存在

3. 积分区间错误

错误：在无界点直接积分 正确：必须使用极限方法

错误：忽略积分的可加性 正确：在多个无界点处需要分别处理

4. 几何意义理解错误

错误：认为反常积分总是表示有限面积 正确：反常积分可能表示无限面积

错误：忽略积分的符号 正确：注意被积函数的符号变化

练习题

练习 1

计算反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx$。

练习 2

判断反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^2} dx$ 的收敛性。

练习 3

计算反常积分 $\int_0^{+\infty} e^{-2x} dx$。