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p级数

定义

p级数的定义

级数 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 称为 pp 级数，其中 pp 是实数。

符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
∑\sum希腊字母Sigma（西格玛）求和符号，表示级数
∞\infty数学符号无穷大表示无穷级数，项数无限
pp数学符号参数pp 级数的参数，决定级数的收敛性

收敛性

p级数收敛性

当 p>1p > 1 时，级数收敛；当 p≤1p \leq 1 时，级数发散。

证明
  1. 设 f(x)=1xpf(x) = \frac{1}{x^p}，在 [1,+∞)[1,+\infty) 上连续、单调递减、非负。
  2. 计算积分：当 p≠1p \neq 1 时， ∫1+∞1xpdx=x1−p1−p∣1+∞\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} \Big|_1^{+\infty}
  3. 令 p>1p>1 时积分收敛，说明级数收敛；p<1p<1 时积分发散，级数发散。
  4. 当 p=1p = 1 时， ∫1+∞1xdx=lim⁡b→∞ln⁡b=+∞\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b\to\infty} \ln b = +\infty 所以级数发散。

证明

使用积分判别法：

设 f(x)=1xpf(x) = \frac{1}{x^p}，则 f(x)f(x) 在 [1,+∞)[1, +\infty) 上连续、单调递减且非负。

积分 ∫1+∞1xpdx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx 的敛散性：

当 p≠1p \neq 1 时： ∫1+∞1xpdx=x1−p1−p∣1+∞\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} \big|_1^{+\infty}

  • 当 p>1p > 1 时，积分收敛
  • 当 p<1p < 1 时，积分发散

当 p=1p = 1 时： ∫1+∞1xdx=ln⁡x∣1+∞=+∞\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty

所以积分发散。

例题

例 1：判断级数 ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 的收敛性。

解： 这是 pp 级数，p=2>1p = 2 > 1

所以级数收敛。

例 2：判断级数 ∑n=1∞1n3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} 的收敛性。

解： 这是 pp 级数，p=3>1p = 3 > 1

所以级数收敛。

例 3：判断级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} 的收敛性。

解： 这是 pp 级数，p=12≤1p = \frac{1}{2} \leq 1

所以级数发散。

练习题

练习 1

判断级数 ∑n=1∞1n3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)
p级数 级数收敛性

解题思路： 这是 pp 级数，需要判断 pp 的值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞1n3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} 是 pp 级数
  2. 确定 pp 值：p=3p = 3
  3. 判断收敛性：p=3>1p = 3 > 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛。

练习 2

判断级数 ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)
p级数 级数收敛性

解题思路： 这是 pp 级数，需要判断 pp 的值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} 是 pp 级数
  2. 确定 pp 值：p=4p = 4
  3. 判断收敛性：p=4>1p = 4 > 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛。

练习 3

判断级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)
p级数 级数收敛性

解题思路： 这是 pp 级数，需要判断 pp 的值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞1n=∑n=1∞1n1/2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}} 是 pp 级数
  2. 确定 pp 值：p=12p = \frac{1}{2}
  3. 判断收敛性：p=12≤1p = \frac{1}{2} \leq 1，所以级数发散

答案： 级数发散。

练习 4

判断级数 ∑n=1∞1n1.5\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5}} 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)
p级数 级数收敛性

解题思路： 这是 pp 级数，需要判断 pp 的值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞1n1.5\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5}} 是 pp 级数
  2. 确定 pp 值：p=1.5p = 1.5
  3. 判断收敛性：p=1.5>1p = 1.5 > 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
nn数学符号项数级数中的项数
∫\int数学符号积分表示定积分或不定积分
ln⁡\ln数学符号自然对数自然对数函数
lim⁡\lim数学符号极限表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语英文术语音标说明
pp 级数pp-series/piː ˈsɪəriːz/形如 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 的级数
收敛convergence/kənˈvɜːdʒəns/级数部分和序列有有限极限
发散divergence/daɪˈvɜːdʒəns/级数部分和序列无有限极限
积分判别法integral test/ˈɪntɪɡrəl test/通过积分判断级数收敛性的方法
比较判别法comparison test/kəmˈpærɪsən test/通过比较判断级数收敛性的方法
上一章节 几何级数 学习几何级数的定义、收敛性及其应用。
下一章节 调和级数 学习调和级数的定义、收敛性及其证明方法。

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