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几何级数

几何级数的定义

几何级数的定义

级数 ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n 称为几何级数，其中 a≠0a \neq 0。

符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
∑\sum希腊字母Sigma（西格玛）求和符号，表示级数
∞\infty数学符号无穷大表示无穷级数，项数无限
rr数学符号公比几何级数中相邻两项的比值

收敛性

几何级数收敛性

当 ∣r∣<1|r| < 1 时，级数收敛，和为：

∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}

当 ∣r∣≥1|r| \geq 1 时，级数发散。

证明
  1. 设 Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}，然后乘以 rr 得到： rSn=ar+ar2+⋯+arnrS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^n
  2. 两式相减得： (1−r)Sn=a−arn=a(1−rn)(1 - r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n)
  3. 若 ∣r∣<1|r| < 1，则 lim⁡n→∞rn=0\lim_{n \to \infty} r^n = 0，所以： lim⁡n→∞Sn=a1−r\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1 - r}
  4. 当 ∣r∣≥1|r| \geq 1 时，部分和不收敛，因此级数发散。

例题

例 1

判断级数 ∑n=0∞12n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} 的收敛性，并求其和。

解： 这是几何级数，a=1,r=12a = 1, r = \frac{1}{2}

由于 ∣r∣=12<1|r| = \frac{1}{2} < 1，所以级数收敛。

和为：S=a1−r=11−12=2S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

例 2

判断级数 ∑n=0∞13n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} 的收敛性，并求其和。

解： 这是几何级数，a=1,r=13a = 1, r = \frac{1}{3}

由于 ∣r∣=13<1|r| = \frac{1}{3} < 1，所以级数收敛。

和为：S=a1−r=11−13=32S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

例 3

判断级数 ∑n=0∞2n\sum_{n=0}^{\infty} 2^n 的收敛性。

解： 这是几何级数，a=1,r=2a = 1, r = 2

由于 ∣r∣=2≥1|r| = 2 \geq 1，所以级数发散。

练习题

练习 1

判断级数 ∑n=0∞14n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} 的收敛性，并求其和。

参考答案 (3 个标签)
几何级数 级数收敛性 级数求和

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞14n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} 是几何级数
  2. 确定参数：a=1,r=14a = 1, r = \frac{1}{4}
  3. 判断收敛性：∣r∣=14<1|r| = \frac{1}{4} < 1，所以级数收敛
  4. 计算和：S=a1−r=11−14=43S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

答案： 级数收敛，和为 43\frac{4}{3}。

练习 2

判断级数 ∑n=0∞25n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n} 的收敛性，并求其和。

参考答案 (3 个标签)
几何级数 级数收敛性 级数求和

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞25n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n} 是几何级数
  2. 确定参数：a=2,r=15a = 2, r = \frac{1}{5}
  3. 判断收敛性：∣r∣=15<1|r| = \frac{1}{5} < 1，所以级数收敛
  4. 计算和：S=a1−r=21−15=245=52S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{2}

答案： 级数收敛，和为 52\frac{5}{2}。

练习 3

判断级数 ∑n=0∞(−1)n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)
几何级数 级数收敛性

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞(−1)n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 是几何级数
  2. 确定参数：a=1,r=−1a = 1, r = -1
  3. 判断收敛性：∣r∣=∣−1∣=1≥1|r| = |-1| = 1 \geq 1，所以级数发散

答案： 级数发散。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
aa数学符号首项几何级数的首项
SnS_n数学符号部分和级数的前 nn 项和
lim⁡\lim数学符号极限表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语英文术语音标说明
几何级数geometric series/dʒiːəˈmetrɪk ˈsɪəriːz/形如 ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n 的级数
公比common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃiəʊ/几何级数中相邻两项的比值 rr
首项first term/fɜːst tɜːm/几何级数的第一项 aa
收敛convergence/kənˈvɜːdʒəns/级数部分和序列有有限极限
发散divergence/daɪˈvɜːdʒəns/级数部分和序列无有限极限
和sum/sʌm/收敛级数的极限值
部分和partial sum/ˈpɑːʃəl sʌm/级数前 nn 项的和 SnS_n
上一章节 无穷级数的基本概念 学习无穷级数的定义、收敛性判别和基本性质。
下一章节 p级数 学习p级数的定义、收敛性及其应用。

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