2019年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．当 $x\to0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$（ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2．设函数 $f(x)=\begin{cases}x|x|,&x\le0,\\x\ln x,&x>0,\end{cases}$ 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）

(A) 可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C) 可导点，非极值点 (D) 不可导点，非极值点

3．设 $\{u_n\}$ 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）

(A) $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{u_n}{n}$ (B) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\dfrac{1}{u_n}$ (C) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(1-\dfrac{u_n}{u_{n+1}}\right)$ (D) $\sum_{n=1}^{\infty} (u_{n+1}^2-u_n^2)$

4．设函数 $Q(x,y)=\dfrac{x}{y^2}$，如果对上半平面（$y>0$）内的任意有向光滑封闭曲线 $C$ 都有 $\displaystyle \oint_C P\,dx+Q\,dy=0$，那么函数 $P(x,y)$ 可取为（ ）

(A) $y-\dfrac{x^2}{y^3}$ (B) $\dfrac{1}{y}-\dfrac{x^2}{y^3}$ (C) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}$ (D) $x-\dfrac{1}{y}$

5．设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵，$E$ 是 3 阶单位矩阵。若 $A^2+A=2E$，且 $|A|=4$，则二次型 $x^T A x$ 的规范型为（ ）

(A) $y_1^2+y_2^2+y_3^2$ (B) $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ (C) $y_1^2-y_2^2-y_3^2$ (D) $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$

6．有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 $a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i\ (i=1,2,3)$ 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $A,\ \overline{A}$，则（ ）

(A) $r(A)=2,\ r(\overline{A})=3$ (B) $r(A)=2,\ r(\overline{A})=2$ (C) $r(A)=1,\ r(\overline{A})=2$ (D) $r(A)=1,\ r(\overline{A})=1$

7．设 $A,B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是（ ）

(A) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (B) $P(AB)=P(A)P(B)$ (C) $P(A\overline{B})=P(\overline{A}B)$ (D) $P(AB)=P(\overline{A}\,\overline{B})$

8．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，则 P\{|X-Y|<1\}（ ）

(A) 与 $\mu$ 无关，而与 $\sigma^2$ 有关 (B) 与 $\mu$ 有关，而与 $\sigma^2$ 无关 (C) 与 $\mu,\sigma^2$ 都有关 (D) 与 $\mu,\sigma^2$ 都无关

二、填空题

二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。

9．设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\sin y-\sin x)+xy$，则 $\dfrac{1}{\cos x}\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{1}{\cos y}\dfrac{\partial z}{\partial y}=$ ______。

10．微分方程 $2yy'-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$ ______。

11．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n$ 在 $(0,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$ ______。

12．设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+4z^2=4\ (z\ge0)$ 的上侧，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} yz\,dzdx+2\,dxdy=$ ______。

13．设 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 为 3 阶矩阵。若 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$，则线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 ______。

14．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，$EX$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X)>EX-1\}=$ ______。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。

15．（本题满分 10 分）设函数 $f(u,v)$ 具有 2 阶连续偏导数，且满足 $4\dfrac{\partial^2 f}{\partial u^2}+12\dfrac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}+5\dfrac{\partial^2 f}{\partial v^2}=0$，确定 $a,b$，使变换 $\begin{cases}x=au+bv\\ y=u+v\end{cases}$ 下化为 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0$。

16．（本题满分 10 分）求曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=1$ 所围平面图形绕直线 $y=1$ 旋转一周所得旋转体的体积。

17．（本题满分 10 分）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $\int_0^1 f(x)\,dx=0$，证明： （1）存在 $\xi\in(0,1)$，使得 $f(\xi)=0$； （2）存在 $\eta\in(0,1)$，使得 $f''(\eta)=2f'(\eta)$。

18．（本题满分 10 分）设 $\Sigma$ 是由平面 $z=1,\ z=-1$ 及曲面 $x^2+y^2=1$ 所围成的圆柱面的外侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}(x-1)^3\,dy\,dz+(y-1)^3\,dz\,dx+(z-1)\,dx\,dy$。

19．（本题满分 10 分）设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=1,\ x_{n+1}=\sin x_n$。 （1）证明 $\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在，并求该极限； （2）计算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{1/x_n^2}$。

20．（本题满分 11 分）设矩阵 $A=\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&-1&-2\\2&-2&-1\end{pmatrix}$。 （1）求 $A$ 的特征值； （2）求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

21．（本题满分 11 分）已知平面区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ x\ge0\}$，计算二重积分 $I=\displaystyle \iint_D \dfrac{1+xy}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$。

22．（本题满分 11 分）设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X\sim \text{Exp}(1)$，$P\{Y=-1\}=p,\ P\{Y=1\}=1-p\ (0<p<1)$，令 $Z=XY$。 （1）求 $Z$ 的概率密度； （2）$p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关； （3）$X$ 与 $Z$ 是否相互独立？说明理由。

23．（本题满分 11 分）设总体 $X$ 的概率密度 $f(x;\sigma)=\dfrac{1}{2\sigma}e^{-|x|/\sigma}\ (x\in\mathbb{R},\ \sigma>0)$，$X_1,\dots,X_n$ 为简单随机样本，记 $\hat{\sigma}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n |X_i|$。 （1）证明 $\hat{\sigma}$ 是 $\sigma$ 的无偏估计量； （2）求 $D(\hat{\sigma})$。