2018年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是（ ）

(A) $f(x)=x\sin|x|$
(B) $f(x)=x\sin x$
(C) $f(x)=\cos|x|$
(D) $f(x)=\cos\sqrt{|x|}$

2．过点 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$，且与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切的平面为（ ）

(A) $z=0$ 与 $x+y-z=1$
(B) $z=0$ 与 $2x+2y-z=2$
(C) $x=y$ 与 $x+y-z=1$
(D) $x=y$ 与 $2x+2y-z=2$

3．$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n 2\cdot 3^{2n}}{(2n)!}=$（ ）

(A) $\sin1\cos1$
(B) $2\sin1\cos1$
(C) $2\sin1-2\cos1$
(D) $2\sin1-3\cos1$

4．设 $M=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2}{1+e^x}dx$，$N=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(x\sin x)^2dx$，$K=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$，则（ ）

(A) $M>N>K$
(B) $M>K>N$
(C) $K>M>N$
(D) $K>N>M$

5．下列矩阵中与矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ 相似的是（ ）

(A) $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
(B) $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
(C) $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
(D) $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

6．设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为秩，$(A,B)$ 表示分块矩阵，则（ ）

(A) $r(A,AB)=r(A)$
(B) $r(A,BA)=r(A)$
(C) $r(A,B)=\max\{r(A),r(B)\}$
(D) $r(A,B)=r(A^T,B^T)$

7．设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$，且 $\int_0^{2} f(x)dx=0.6$，则 $P\{X<0\}=$（ ）

(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.5

8．设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本 $X_1,\dots,X_n$，检验 $H_0:\mu=0,\ H_1:\mu\ne0$，则（ ）

(A) 若在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(B) 若在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$
(C) 若在 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(D) 若在 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$

二、填空题

二、填空题：9～12 小题，每小题 4 分，共 16 分。

9．若 $\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\!1/x^3}=e^k$，则 $k=$ ______。

10．设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，曲线 $y=f(x)$ 过 $(0,0)$ 且与 $y=2^x$ 在 $(1,2)$ 相切，则 $\displaystyle \int_0^1 x f''(x)\,dx=$ ______。

11．设 $F(x,y,z)=xy\,\mathbf{i}+yz\,\mathbf{j}+zx\,\mathbf{k}$，则 $\operatorname{rot}F\big|_{(1,1,0)}=$ ______。

12．设 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\displaystyle \oint_L xy\,ds=$ ______。

13．设二阶矩阵 $A$ 有两个不同的特征值，$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关特征向量，且满足 $A(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_2$，则 $|A|=$ ______。

14．设随机事件 $A,B,C$ 相互独立，$P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$，$P(AB\cup C)=\dfrac{7}{8}$，则 $P(C)=$ ______。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。

15．（本题满分 10 分）求不定积分 $\displaystyle \int \frac{e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1}}{e^x-1}dx$。

16．（本题满分 10 分）将长为 $2l$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求最小值。

17．（本题满分 10 分）设 $\varSigma$ 是曲面 $z=x^2+y^2$（$z\le1$）的前侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\varSigma}(x-1)^3\,dy\,dz+(y-1)^3\,dz\,dx+(z-1)\,dx\,dy$。

18．（本题满分 10 分）已知微分方程 $y''-2y'+y=f(x)$：
（I）若 $f(x)=x$，求方程的通解；
（II）若 $f(x)$ 周期为 $T$，证明方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解。

19．（本题满分 10 分）数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1>0,\ x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$。
（1）证明 $\{x_n\}$ 收敛，并求极限；
（2）计算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n x_n$。

20．（本题满分 11 分）设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1+ax_3)^2$，$a$ 为参数。
（I）求 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解；
（II）求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范型。

21．（本题满分 11 分）已知 $a$ 是常数，矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&1\\1&4&a\end{pmatrix}$ 可经初等列变换化为 $B=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&a-2\end{pmatrix}$。
（I）求 $a$；（II）求满足 $AP=B$ 的可逆矩阵 $P$。

22．（本题满分 10 分）设 $X,Y$ 独立，$P(X=1)=P(X=-1)=\tfrac12$，$Y\sim \text{Poisson}(\lambda)$，令 $Z=XY$。
（I）求 $\operatorname{Cov}(X,Z)$；
（II）求 $Z$ 的概率分布。

23．（本题满分 11 分）设总体 $X$ 的概率密度 $f(x;\sigma)=\begin{cases}\dfrac{1}{\sigma}e^{-x/\sigma}, & x>0\\[4pt]0, & x\le0\end{cases}$，$\sigma>0$ 未知，$X_1,\dots,X_n$ 为简单随机样本，记 $\hat{\sigma}$ 为 $\sigma$ 的最大似然估计量。
（1）求 $\hat{\sigma}$；（2）求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$。