2015年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，二阶导函数 $f''(x)$ 的图形如图（略），则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为（ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

2．$y=\tfrac{1}{2}e^{2x}+(x-\tfrac{1}{3})e^x$ 是方程 $y''+ay'+by=ce^x$ 的一特解，则（ ）

(A) $a=-3,b=2,c=-1$
(B) $a=3,b=2,c=-1$
(C) $a=-3,b=2,c=1$
(D) $a=3,b=2,c=1$

3．若级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 $\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-1)^n$ 的（ ）

(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点

4．设 $D$ 为第一象限由 $xy=1,xy=2$ 与 $y=x,y=4x$ 围成的区域，$f$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=$（ ）

(A) $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\arctan 4}d\theta\int_{\sqrt{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}}^{\sqrt{\frac{2}{\sin\theta\cos\theta}}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr$
(B) 同上但无 $r$ 因子
(C) 同上但有 $r^2$ 因子
(D) 无对应正确形式

5．设 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}1\\d\\d^2\end{pmatrix}$，$\varOmega=\{1,2\}$，方程组 $Ax=b$ 有无穷多解的充要条件为（ ）

(A) $a\notin\varOmega,\ d\notin\varOmega$
(B) $a\notin\varOmega,\ d\in\varOmega$
(C) $a\in\varOmega,\ d\notin\varOmega$
(D) $a\in\varOmega,\ d\in\varOmega$

6．二次型 $f$ 在正交变换 $x=Py$ 下标准形为 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，$P=(e_1,e_2,e_3)$，若 $Q=(e_1,-e_3,e_2)$，则标准形为（ ）

(A) $2y_1^2-y_2^2+y_3^2$
(B) $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$
(C) $2y_1^2-y_2^2-y_3^2$
(D) $2y_1^2+y_2^2+y_3^2$

7．若 $A,B$ 为任意随机事件，则（ ）

(A) $P(AB)\le \dfrac{P(A)+P(B)}{2}$
(B) $P(AB)\ge \dfrac{P(A)+P(B)}{2}$
(C) $P(AB)\le \sqrt{P(A)P(B)}$
(D) $P(AB)\ge \sqrt{P(A)P(B)}$

8．$X,Y$ 不相关，$E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3$，则 $E[X(X+Y-2)]=$（ ）

(A) -3 (B) 3 (C) -5 (D) 5

二、填空题

二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。

9．$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=$ ______。

10．$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right)dx=$ ______。

11．若 $z(x,y)$ 由 $e^z+xyz+x+\cos x=2$ 确定，则 $dz\big|_{(0,1)}=$ ______。

12．$\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+2y+3z)\,dV=$ ______，其中 $\Omega$ 由 $x+y+z=1$ 与三坐标平面围成。

13．$n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&\cdots&-1\\-1&\lambda-1&\cdots&-1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-1&-1&\cdots&\lambda-1\end{vmatrix}=$ ______。

14．设 $(X,Y)\sim N\big((1,0),\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\big)$，求 $P\{XY-Y<0\}=$ ______。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。

15．设 $f(x)=x + a\ln(1 + x)+bx\sin x$，$g(x)=kx^3$，若 $x\to0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 等价无穷小，求 $a,b,k$。

16．设 $f'(x)>0$，对任意 $x_0$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(x_0,f(x_0))$ 的切线与直线 $x=x_0$、$x$ 轴围成区域面积恒为 4，且 $f(0)=2$，求 $f(x)$。

17．区域 $D$ 由 $y=\sqrt{1-x^2}$（$0\le x\le1$）与坐标轴围成，求 $\iint_D x^2\,dx\,dy$。

18．(I) 设 $u,v$ 可导，利用导数定义证明 $(uv)'=u'v+uv'$；(II) 设 $f(x)=\prod_{i=1}^n u_i(x)$，写出 $f'(x)$。

19．数列 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$。证明： (I) $\lim_{n\to\infty}a_n$ 存在； (II) $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{a_n^2}$ 收敛。

20．$\alpha_1=(1,0,1)^T,\ \alpha_2=(0,1,1)^T,\ \alpha_3=(1,3,5)^T$ 不能由 $\beta_1=(1,1,1)^T,\ \beta_2=(1,2,3)^T,\ \beta_3=(3,4,a)^T$ 线性表示。(I) 求 $a$；(II) 将 $\beta_i$ 用 $\alpha_i$ 表示。

21．矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&2&-3\\-1&3&-3\\1&-2&4\end{pmatrix}$，求特征值、特征向量，并取可逆 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 对角化。

22．$X$ 的密度 $f(x)=\begin{cases}2^{-x}\ln2,&x>0\\0,&x\le0\end{cases}$。独立观测直到第 2 个 $X>3$ 出现，记总次数 $Y$。(I) 求 $Y$ 分布；(II) 求 $E(Y)$。

23．总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本 $\overline{X},S^2$ 如题，$T=\overline{X}^2-\dfrac{1}{n}S^2$。(I) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计；(II) 当 $\mu=0,\sigma^2=1$ 时求 $D(T)$。

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