综合练习题

解题思路： 使用导数的定义或基本求导法则。

详细步骤：

1. 方法一：使用定义 $f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 + 2(1 + h) + 1 - (1 + 2 + 1)}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 + 2 + 2h + 1 - 4}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$

2. 方法二：使用基本求导法则 $f'(x) = 2x + 2$ $f'(1) = 2 \times 1 + 2 = 4$

答案：$f'(1) = 4$

解题思路： 分别判断连续性和可导性。

详细步骤：

1. 连续性判断： $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$，所以函数在 $x = 0$ 处连续。

2. 可导性判断： 左导数：$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$ 右导数：$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$ 左导数不等于右导数，所以函数在 $x = 0$ 处不可导。

答案：函数在 $x = 0$ 处连续但不可导。

解题思路： 使用乘积法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^3$，$v = \sin x$
2. $u' = 3x^2$，$v' = \cos x$
3. 使用乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
4. $f'(x) = 3x^2 \cdot \sin x + x^3 \cdot \cos x$

答案：$f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

解题思路： 使用商法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^2 + 1$，$v = x + 1$
2. $u' = 2x$，$v' = 1$
3. 使用商法则：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
4. $f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$
5. $= \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}$

答案：$f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}$

解题思路： 使用链式法则，注意多层复合。

详细步骤：

1. 最外层：$\sin u$，$u = e^{x^2}$
2. 中间层：$e^v$，$v = x^2$
3. 最内层：$x^2$
4. $(\sin u)' = \cos u$，$(e^v)' = e^v$，$(x^2)' = 2x$
5. $f'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \cos(e^{x^2})$

答案：$f'(x) = 2x e^{x^2} \cos(e^{x^2})$

解题思路： 使用反函数求导公式。

详细步骤：

1. 设 $y = \arcsin(x^2)$，则 $x^2 = \sin y$
2. 两边对 $x$ 求导：$2x = \cos y \cdot y'$
3. 解出 $y'$：$y' = \frac{2x}{\cos y} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

答案：$f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

解题思路： 使用隐函数求导方法。

详细步骤：

1. 两边对 $x$ 求导：$3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'$
2. 整理：$3y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^2$
3. 解出 $y'$：$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

答案：$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

解题思路： 先求一阶导数，再求二阶导数。

详细步骤：

1. 一阶导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$
2. 二阶导数：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) \cdot \frac{dt}{dx}$
3. $\frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) = \frac{3}{2}$
4. $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2t}$
5. $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{3}{4t}$

答案：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4t}$

解题思路： 使用罗尔定理。

详细步骤：

1. 函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导
2. $f(a) = f(b)$
3. 根据罗尔定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $f'(\xi) = 0$

答案：存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $f'(\xi) = 0$。

解题思路： 使用拉格朗日中值定理。

详细步骤：

1. 设 $f(t) = \sin t$，在 $[x, y]$ 上应用拉格朗日中值定理
2. 存在 $\xi \in (x, y)$ 使 $f'(\xi) = \frac{\sin y - \sin x}{y - x}$
3. 即 $\cos \xi = \frac{\sin y - \sin x}{y - x}$
4. 由于 $|\cos \xi| \leq 1$，所以 $|\frac{\sin y - \sin x}{y - x}| \leq 1$
5. 因此 $|\sin x - \sin y| \leq |x - y|$

答案：不等式成立。

解题思路： 检查条件并应用洛必达法则。

详细步骤：

1. 检查条件：$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$，$\lim_{x \to 0} x = 0$
2. 满足 $\frac{0}{0}$ 型
3. $(\sin x)' = \cos x$，$(x)' = 1$
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

答案：极限值为 $1$。

解题思路： 多次应用洛必达法则。

详细步骤：

1. 满足 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
2. 第一次应用：$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$
3. 第二次应用：$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$

答案：极限值为 $0$。

解题思路： 转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。

详细步骤：

1. 转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$
2. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
3. $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$

答案：极限值为 $0$。

解题思路： 求导数，找驻点，判断极值。

详细步骤：

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
2. 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0, 2$
3. $f''(x) = 6x - 6$
4. $f''(0) = -6 < 0$，$x = 0$ 为极大值点，$f(0) = 2$
5. $f''(2) = 6 > 0$，$x = 2$ 为极小值点，$f(2) = -2$

答案：极大值点 $(0, 2)$，极小值点 $(2, -2)$。

解题思路： 求导数，计算切线方程。

详细步骤：

1. $f'(x) = \frac{1}{x}$，$f'(1) = 1$
2. 切线方程：$y - 0 = 1(x - 1)$
3. 即 $y = x - 1$

答案：切线方程为 $y = x - 1$。

解题思路： 求所有可能的极值点，比较函数值。

详细步骤：

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
2. 驻点：$x = 0, 2$
3. $f(0) = 2$，$f(2) = -2$，$f(3) = 2$
4. 最大值为 $2$，最小值为 $-2$

答案：最大值为 $2$，最小值为 $-2$。

解题思路： 使用对数求导法。

详细步骤：

1. 两边取对数：$\ln y = x \ln x$
2. 对 $x$ 求导：$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$
3. 所以 $y' = x^x (\ln x + 1)$

答案：$y' = x^x (\ln x + 1)$。

解题思路： 求二阶导数，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x$
2. $f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
3. 令 $f''(x) = 0$，得 $x = 1$
4. 当 $x < 1$ 时，$f''(x) < 0$，函数为凸函数
5. 当 $x > 1$ 时，$f''(x) > 0$，函数为凹函数
6. $f'''(x) = 6 \neq 0$，所以 $(1, f(1)) = (1, 0)$ 为拐点

答案：凸区间 $(-\infty, 1)$，凹区间 $(1, +\infty)$，拐点 $(1, 0)$。

解题思路： 计算相关值并验证定理。

详细步骤：

1. $f(1) = 1$，$f(2) = 4$，$g(1) = 1$，$g(2) = 8$
2. $f'(x) = 2x$，$g'(x) = 3x^2$
3. 根据柯西中值定理：$\frac{2\xi}{3\xi^2} = \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac{3}{7}$
4. 所以 $\frac{2}{3\xi} = \frac{3}{7}$，$\xi = \frac{14}{9}$

答案：$\xi = \frac{14}{9}$。

解题思路： 使用曲率公式。

详细步骤：

1. $f'(x) = 2x$，$f'(1) = 2$
2. $f''(x) = 2$，$f''(1) = 2$
3. $\kappa = \frac{|f''(1)|}{[1 + (f'(1))^2]^{3/2}} = \frac{|2|}{[1 + 2^2]^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} = \frac{2}{5\sqrt{5}}$

答案：曲率为 $\frac{2}{5\sqrt{5}}$。