Improper Integrals

Improper integrals extend definite integrals to unbounded intervals or integrands with singularities.

两类情形

1. 无穷区间：上/下限为 $\infty$ 或 $-\infty$.
2. 被积函数无界：积分区间内存在垂直渐近线（如 $1/x$ 在 0 处）。

定义（示意）

• 无穷上限：$\displaystyle \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx$。
• 无穷区间双端：拆为 $\int_{-\infty}^c + \int_c^{\infty}$.
• 内点奇异：若 $f$ 在 $c$ 处无界，$\displaystyle \int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t\to c^-}\int_a^t f(x)\,dx$。

收敛与否取决于极限是否存在且有限。

常见判别

• 比较判别：与已知收敛/发散的函数比较。
• p-型：$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$ 收敛当且仅当 $p>1$；$\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ 收敛当且仅当 $p<1$。
• 绝对/条件收敛。

简例

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$（收敛）。
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx$ 发散。
• $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2$（端点奇异但收敛）。

Summary

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