Newton–Leibniz Formula

The Newton–Leibniz formula links a definite integral to antiderivatives, giving a powerful way to compute integrals.

基本公式

Newton–Leibniz formula

If $f(x)$ is continuous on $[a, b]$ and $F(x)$ is an antiderivative of $f(x)$, then

Notation: $\int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

Meaning

1. Connects differentiation and integration via antiderivatives.
2. Simplifies computation: avoids direct Riemann-sum calculations.
3. Theoretical cornerstone of calculus.

公式的证明

思路

1. Let $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$; then $F'(x) = f(x)$.
2. Any antiderivative $G$ satisfies $G(x) = F(x) + C$.
3. $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) = G(b)-G(a)$.

详细过程

Step 1 Construct $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, so $F'(x)=f(x)$.
Step 2 If $G'(x)=f(x)$, then $G(x)=F(x)+C$.
Step 3 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$.

应用例子

基本应用

例 1 $\int_0^1 x^2 dx$
解：$F(x)=\tfrac{x^3}{3}$，结果 $\tfrac13$。

例 2 $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$
解：$F(x)=-\cos x$，结果 $2$。

复杂应用

例 3 $\int_1^e \dfrac{1}{x} dx = [\ln x]_1^e = 1$。
例 4 $\int_0^{\pi/2} \cos^2 x \, dx = \frac{\pi}{4}$（用恒等式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$）。

公式的推广

变限积分

若 $f$ 连续，则

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)$

复合换元

若 $f$ 连续，$u$ 可导且 $u([c,d])\subseteq[a,b]$：

$\int_c^d f(u(x))u'(x)\,dx = \int_{u(c)}^{u(d)} f(t)\,dt$

练习题

1. $\int_0^1 x^3 dx$
   

   参考答案

   $\tfrac14$

2. $\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx$
   

   参考答案

   $1$

3. $\int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx$
   

   参考答案

   $2$

4. $\int_0^1 e^x dx$
   

   参考答案

   $e-1$

总结

本文出现的希腊字母