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Using the Integral Mean Value Theorem

Use the integral mean value theorem to estimate or relate integrals to function values.

例子

例：估计 ∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2} dx
因为 e−x2e^{-x^2} 连续且递减，存在 ξ∈[0,1]\xi\in[0,1] 使积分等于 e−ξ2(1−0)e^{-\xi^2}(1-0)。故 e−1≤∫01e−x2dx≤1e^{-1}\le \int_0^1 e^{-x^2} dx \le 1。

练习题

练习 1

利用积分中值定理，估计 ∫02cos⁡x dx\int_0^2 \cos x \, dx。

参考答案

思路：cos⁡x\cos x 在 [0,2][0,2] 连续且变化，存在 ξ\xi 使积分 =cos⁡ξ⋅2=\cos \xi \cdot 2。
计算真实值：[sin⁡x]02=sin⁡2≈0.909[\sin x]_0^2 = \sin 2 \approx 0.909，故 cos⁡ξ=sin⁡22≈0.4545\cos\xi = \tfrac{\sin2}{2} \approx 0.4545。
答案：存在 ξ∈[0,2]\xi\in[0,2] 使 cos⁡ξ≈0.4545\cos\xi \approx 0.4545；积分约 0.9090.909。

Summary

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ξ\xi希腊字母Xi（ksee）中值点
∫\int数学符号integral定积分符号

中英对照

中文术语英文术语音标说明
积分中值定理integral mean value theorem/ˈɪntɪɡrəl miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/存在 ξ\xi 使 ∫f=f(ξ)(b−a)\int f = f(\xi)(b-a)
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