导数运算法则

解题思路： 使用和差法则和幂函数导数公式。

详细步骤：

1. 应用和差法则： $f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (5x)' + (1)'$

2. 计算各项导数： $(x^3)' = 3x^2$ $(2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$ $(5x)' = 5$ $(1)' = 0$

3. 合并结果： $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

答案：$f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

解题思路： 使用乘积法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^2$，$v = \sin x$

2. 计算 $u'$ 和 $v'$： $u' = 2x$ $v' = \cos x$

3. 应用乘积法则： $f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$

4. 整理结果： $f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$

答案：$f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$

解题思路： 使用商法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^2 + 1$，$v = x - 1$

2. 计算 $u'$ 和 $v'$： $u' = 2x$ $v' = 1$

3. 应用商法则： $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2}$

4. 展开计算： $= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$

答案：$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$

解题思路： 使用链式法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^2 + 1$，则 $f(x) = \sin u$

2. 计算各层导数： $\frac{df}{du} = \cos u = \cos(x^2 + 1)$ $\frac{du}{dx} = 2x$

3. 应用链式法则： $f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(x^2 + 1) \cdot 2x$

4. 整理结果： $f'(x) = 2x\cos(x^2 + 1)$

答案：$f'(x) = 2x\cos(x^2 + 1)$

解题思路： 利用等价无穷小的性质和链式法则。

详细步骤：

1. 由 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，可得 $f(x)\sim \ln x$ 当 $x\to1$

2. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，所以 $\lim\limits_{x\to1} f(x)=0$

3. 设 $g(x)=\frac{f(x)}{\ln x}$，则 $f(x)=g(x)\ln x$

4. 应用乘积法则： $f'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}$

5. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，$\frac{1}{x}\to1$，$g(x)\to1$

6. 因此 $f'(1)=\lim\limits_{x\to1} f'(x)=1$

答案：$f'(1)=1$

解题思路： 使用参数方程求导公式和链式法则。

详细步骤：

1. 当 $t\geq0$ 时，$x=3t, y=t\sin t$，所以 $y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$

2. 当 $t<0$ 时，$x=t, y=-t\sin t$，所以 $y=-x\sin x$

3. 因此 $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}$

4. 计算左导数： $f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0$

5. 计算右导数： $f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0$

6. 由于左导数和右导数相等，所以 $f'(0)=0$

答案：$f'(0)=0$

解题思路： 使用偏导数的链式法则和乘积法则。

详细步骤：

1. 设 $u=\frac{y}{x}$，则 $z=xyf(u)$

2. 对 $x$ 求偏导： $\frac{\partial z}{\partial x}=yf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$ $=yf(u)+xyf'(u)\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)$ $=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}$

3. 对 $y$ 求偏导： $\frac{\partial z}{\partial y}=xf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$ $=xf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{1}{x}$ $=xf\left(\frac{y}{x}\right)+yf'\left(\frac{y}{x}\right)$

答案： $\frac{\partial z}{\partial x}=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}$ $\frac{\partial z}{\partial y}=xf\left(\frac{y}{x}\right)+yf'\left(\frac{y}{x}\right)$

解题思路： 利用切线方程和截距的概念建立微分方程。

详细步骤：

1. 点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离为 $x$

2. 点 $P(x,y)$ 处的切线方程为： $Y-y=y'(x)(X-x)$

3. 切线在 $y$ 轴上的截距为： 当 $X=0$ 时，$Y=y-xy'(x)$

4. 根据题意：$x=y-xy'(x)$

5. 整理得：$y'(x)=\frac{y-x}{x}$

6. 这是一个一阶线性微分方程： $y'(x)-\frac{1}{x}y=-1$

7. 求解得：$y(x)=x(2-\ln x)$

8. 验证 $y(1)=2$，符合条件

答案：$y(x)=x(2-\ln x)$

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和链式法则。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x)=e^{\cos x}$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导： $f''(x)=\frac{d}{dx}(e^{\cos x})=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin x$

3. 使用链式法则： 设 $u=\cos x$，则 $f'(x)=e^u$ $\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)$

答案： $f'(x)=e^{\cos x}$ $f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和乘积法则。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导，使用乘积法则： 设 $u = e^{x^2}$，$v = \sin x$

   $u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$ $v' = \cos x$

3. 应用乘积法则： $f''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos x$ $= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

答案： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$ $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$