零点定理

零点定理是介值定理的特例，它说明连续函数在端点异号时必有零点。

定理内容

几何意义

零点定理的几何意义是：如果连续函数在区间端点的函数值异号，则函数图像必定与 $x$ 轴相交。

证明思路

1. 利用介值定理：零点定理是介值定理的特例（$C = 0$）
2. 直接证明：构造区间套，利用连续性
3. 利用最值定理：通过最值定理证明零点存在

应用例子

例子 1：多项式方程

问题：证明方程 $x^2 - 2 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = x^2 - 2$
• $f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 2 > 0$
• 函数在 $[1, 2]$ 上连续
• $f(1) \cdot f(2) = (-1) \times 2 = -2 < 0$
• 根据零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使 $f(\xi) = 0$

例子 2：超越方程

问题：证明方程 $\cos x = x$ 在 $(0, 1)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = \cos x - x$
• $f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$
• $f(1) = \cos 1 - 1 \approx 0.54 - 1 = -0.46 < 0$
• 函数在 $[0, 1]$ 上连续
• $f(0) \cdot f(1) < 0$
• 根据零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使 $f(\xi) = 0$

注意事项

1. 端点异号条件

零点定理要求 $f(a) \cdot f(b) < 0$，即端点函数值异号。

反例：

• $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续
• $f(0) = 0$，$f(1) = 1 > 0$
• 虽然函数在 $[0, 1]$ 上有零点，但不满足零点定理的条件

2. 闭区间连续

函数必须在闭区间上连续。

3. 零点可能不唯一

零点定理只保证至少存在一个零点，可能有多个零点。

Exercises

练习 1

设 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续，且 $f(0) = -1, f(2) = 3$，证明 $f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一点 $x_0$ 使 $f(x_0) = 0$。

练习 2

证明方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有解。

练习 3

设 $f(x)$ 在 $[1, 3]$ 上连续，且 $f(1) = 2, f(3) = -1$，证明 $f(x)$ 在 $(1, 3)$ 内至少有一点 $x_0$ 使 $f(x_0) = 0$。

Summary

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